Matematyka.pl

Dla jakiego parametru x szereg ten jest zbiezny

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\frac{(2x-3)^{n}}{(n^{2}+3n+5)\cdot4^{n}}}\)

z góry dzięki za wszystko

wstawiamy za 2x-3=t i otrzymujemy szereg potęgowy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\frac{t^{n}}{(n^{2}+3n+5)\cdot4^{n}}}\)
obliczmy teraz promień zbieznosc \(\displaystyle{ \lim_{n\to }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{4}}\)
zatem r=4
Aby zbadać dla jakich x ten szereg jest zbiezny wystarczy rozwiązać nieówność
-4

Należy jeszcze zbadać zachowanie szeregu w końcach przedziału zbieżności.

tzn co??
mogłbys to zpisac jakos?

Z tego co jest napisane powyżej wynika zbieżność bezwzględna szeregu w przedziale:
\(\displaystyle{ (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{7}{2})}\)
ponadto szereg jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ x (-\infty, -\tfrac{1}{2}) \cup (\tfrac{7}{2}, +\infty)}\), gdyż jak łatwo się przekonać nie spełnia wtedy warunku koniecznego zbieżności. Pozostaje zbadać zbieżność dla \(\displaystyle{ x = -\tfrac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \tfrac{7}{2}}\). Na mocy kryterium porównawczego ze zbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) badany szereg jest w tych punktach zbieżny bezwzględnie.

wielkie dzieki