zbieznosc szeregu z parmetrem

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
luck865
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódż
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: luck865 » 7 wrz 2007, o 18:17

Dla jakiego parametru x szereg ten jest zbiezny

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\frac{(2x-3)^{n}}{(n^{2}+3n+5)\cdot4^{n}}}\)

z góry dzięki za wszystko
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: robin5hood » 7 wrz 2007, o 22:07

wstawiamy za 2x-3=t i otrzymujemy szereg potęgowy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\frac{t^{n}}{(n^{2}+3n+5)\cdot4^{n}}}\)
obliczmy teraz promień zbieznosc \(\displaystyle{ \lim_{n\to }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{4}}\)
zatem r=4
Aby zbadać dla jakich x ten szereg jest zbiezny wystarczy rozwiązać nieówność
-4

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: max » 7 wrz 2007, o 22:46

Należy jeszcze zbadać zachowanie szeregu w końcach przedziału zbieżności.

luck865
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódż
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: luck865 » 7 wrz 2007, o 22:53

tzn co??
mogłbys to zpisac jakos?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: max » 7 wrz 2007, o 23:03

Z tego co jest napisane powyżej wynika zbieżność bezwzględna szeregu w przedziale:
\(\displaystyle{ (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{7}{2})}\)
ponadto szereg jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ x (-\infty, -\tfrac{1}{2}) \cup (\tfrac{7}{2}, +\infty)}\), gdyż jak łatwo się przekonać nie spełnia wtedy warunku koniecznego zbieżności. Pozostaje zbadać zbieżność dla \(\displaystyle{ x = -\tfrac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x = \tfrac{7}{2}}\). Na mocy kryterium porównawczego ze zbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) badany szereg jest w tych punktach zbieżny bezwzględnie.

luck865
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódż
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

zbieznosc szeregu z parmetrem

Post autor: luck865 » 7 wrz 2007, o 23:23

wielkie dzieki

ODPOWIEDZ