Matematyka.pl

Z jakiego kryterium zbadać zbieżność tego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}(\frac{3n+2}{3n} )^{n}}\)

Kryterium Cauchy'ego odpada bo nie rozstrzyga.

Sprawdź warunek konieczny zbieżności.

1. Korzystam z kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów.
2. Badam czy szereg bezwzględnych wartości jest zbieżny, więc:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ( \frac{3n+2}{3n})^{n}=\lim_{n\to } (1+ \frac{2}{3n})^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}\) \(\displaystyle{ =e^{\frac{2}{3}} \ 0}\) , stąd badany szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności



Czy o to ci chodziło?

Poniekąd, ale 1. jest niepotrzebne, bo z faktu iż:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }|a_{n}| 0}\) wynika, że nie może być
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }a_{n} = 0}\)
i w związku z tym nie zachodzi warunek konieczny.
Natomiast z tego, że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie nie wynika jeszcze, że nie jest zbieżny warunkowo.