Matematyka.pl

Jak obliczyć te granice:

1) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{x_n }}{4} - 2,x_1 = 5}\)
2) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{ - x_n }}{3} - 2,x_1 = 5}\)
3) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \sqrt {x_n } ,x_1 = a > 0}\)

Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie w tych zadaniach skąd się co wzięło.

nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?

Co do trzeciego, to nawet nie trzeba znajdować wyrazów ogólnych, bo
\(\displaystyle{ x_{n}=\sqrt[2n]{x_{1}}=\sqrt[2n]{a}}\), a więc oczywiście dla dowolnego
\(\displaystyle{ a>0}\) ten ciąg ma granicę w jedynce.

Już wiem z poprzedniej odpowiedzi, że trzeba znaleźć wyraz ogólny ciągu, czy tak? Ale jak to zrobić? To jest \(\displaystyle{ x_n}\)? A poza tym to samo to, że nie rozumiem na razie tych zadań mnie dobija, nie musiałeś jeszcze tak po mnie pojechać takim tekstem:

siNister pisze:nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?

. Gdybym wiedział jak to zrobić to bym nie pisał na forum. Niestety nie wiem Przykro mi, że marnuje wam czas na takie błachostki.

siNister zamieszczanie postów pozbawionych treści merytorycznej jest zdecydowanie niewskazane.

Wyznaczanie wyrazów ogólnych nie jest konieczne, np w pierwszym i drugim przykładzie można pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a następnie przejść do granicy w zależności rekurencyjnej.

A drugi przykład można zrobić np tak:
\(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{-x_{n}}{3}-2\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}}{3}- \frac{1}{2}\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}-\frac{3}{2}}{3}}\)
przyjmując \(\displaystyle{ a_{n}=x_{n}+\frac{3}{2}}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{-a_{n}}{3}=\frac{(-1)^{n}a_{1}}{3^{n}}\to 0}\)
zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_{n}= -\frac{3}{2}}\)

polskimisiek - przecież Ty właśnie wyznaczyłeś wyraz ogólny

Właśnie dlatego napisałem, że nie trzeba wyznaczać wyrazu ogólnego, bo w tamtym przypadku jest on oczywisty