Granice ciągów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
lalus_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Klęczany Górne
Podziękował: 7 razy

Granice ciągów

Post autor: lalus_87 » 24 sie 2007, o 18:46

Jak obliczyć te granice:

1) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{x_n }}{4} - 2,x_1 = 5}\)
2) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{{ - x_n }}{3} - 2,x_1 = 5}\)
3) \(\displaystyle{ x_{n + 1} = \sqrt {x_n } ,x_1 = a > 0}\)

Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie w tych zadaniach skąd się co wzięło.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

siNister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 16 kwie 2006, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/Gliwice
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 16 razy

Granice ciągów

Post autor: siNister » 24 sie 2007, o 19:11

nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Granice ciągów

Post autor: Piotr Rutkowski » 24 sie 2007, o 22:28

Co do trzeciego, to nawet nie trzeba znajdować wyrazów ogólnych, bo
\(\displaystyle{ x_{n}=\sqrt[2n]{x_{1}}=\sqrt[2n]{a}}\), a więc oczywiście dla dowolnego
\(\displaystyle{ a>0}\) ten ciąg ma granicę w jedynce.

lalus_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Klęczany Górne
Podziękował: 7 razy

Granice ciągów

Post autor: lalus_87 » 25 sie 2007, o 10:39

Już wiem z poprzedniej odpowiedzi, że trzeba znaleźć wyraz ogólny ciągu, czy tak? Ale jak to zrobić? To jest \(\displaystyle{ x_n}\)? A poza tym to samo to, że nie rozumiem na razie tych zadań mnie dobija, nie musiałeś jeszcze tak po mnie pojechać takim tekstem:
siNister pisze:nawet ci sie wyrazów ogólnych nie chciało znaleźć?
. Gdybym wiedział jak to zrobić to bym nie pisał na forum. Niestety nie wiem Przykro mi, że marnuje wam czas na takie błachostki.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granice ciągów

Post autor: max » 25 sie 2007, o 12:33

siNister zamieszczanie postów pozbawionych treści merytorycznej jest zdecydowanie niewskazane.

Wyznaczanie wyrazów ogólnych nie jest konieczne, np w pierwszym i drugim przykładzie można pokazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony, a następnie przejść do granicy w zależności rekurencyjnej.

A drugi przykład można zrobić np tak:
\(\displaystyle{ x_{n + 1} = \frac{-x_{n}}{3}-2\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}}{3}- \frac{1}{2}\\
x_{n+1} + \frac{3}{2}= \frac{-x_{n}-\frac{3}{2}}{3}}\)

przyjmując \(\displaystyle{ a_{n}=x_{n}+\frac{3}{2}}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{-a_{n}}{3}=\frac{(-1)^{n}a_{1}}{3^{n}}\to 0}\)
zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_{n}= -\frac{3}{2}}\)

polskimisiek - przecież Ty właśnie wyznaczyłeś wyraz ogólny

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Granice ciągów

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 17:40

Właśnie dlatego napisałem, że nie trzeba wyznaczać wyrazu ogólnego, bo w tamtym przypadku jest on oczywisty

ODPOWIEDZ