Matematyka.pl

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\)?

Moje rozwiązanie wygląda następująco:

Weźmy ciągi:
\(\displaystyle{ a_n=\sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=\frac{n}{n^2+2}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin{(\frac{n}{n^2+2})}}{\frac{n}{n^2+2}}=1 \ \ \ (*)}\)

Poza tym szereg
\(\displaystyle{ b_n=\frac{n}{n^2+2}\mathop{>}_{n>1} \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}}\) jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.

Stąd i z \(\displaystyle{ (*)}\) na mocy kryterium ilorazowego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\)

Czy jest to zrobione poprawnie? Jeśli nie, to gdzie robię błędy?

Jest ok

Jest ok, co najwyżej można dodać drobiazgi - granica jest równa jeden, bo \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+2}}\) zbiega do zera, a zbieżny jest raczej szereg \(\displaystyle{ \sum b_n}\) niż szereg \(\displaystyle{ b_n}\) (chociaż i tak wiadomo o chodzi).

Q.

Dziękuję.