Strona 1 z 1
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 1 lis 2017, o 20:45
autor: lolo666
O ile wiem jak wyznaczać okres podstawowy funkcji trygonometrycznych, to w tego typu nie wiem, od czego zacząć. Mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = x - [x]}\)
gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) to część całkowita.
Liczę na wytłumaczenie tego przykładu
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 1 lis 2017, o 20:59
autor: Premislav
Okresem podstawowym tej funkcji jest \(\displaystyle{ 1}\).
Nie wiem za bardzo, co tu tłumaczyć, myślę, że najlepiej by było, gdybyś narysował sobie fragment wykresu takiej funkcji (oczywiście to jeszcze nie jest dowód).
Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 1 lis 2017, o 22:30
autor: lolo666
A jak to wykazać? Bo nie mam pomysłu
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 1 lis 2017, o 22:46
autor: Jan Kraszewski
Pokaż, że \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\) oraz że dla każdego \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+a)\neq f(x)}\).
JK
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 1 lis 2017, o 22:48
autor: Premislav
Jeżeli naszkicujesz sobie fragment wykresu, to dojdziesz do wniosku, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)}\). Oto dowód tej obserwacji:
\(\displaystyle{ f(x+n)=x+n-[x+n]}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\), a tak się dzieje, gdyż z jednej strony oczywiście \(\displaystyle{ x+n\ge [x]+n}\), a stąd \(\displaystyle{ [x+n]\ge [[x]+n]=[x]+n}\), natomiast z drugiej strony jest \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\), czyli \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]=[x]+1+n}\),
czyli \(\displaystyle{ [x+n]}\) jest liczbą całkowitą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle [x]+n, [x]+1+n\right)}\),
zatem \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\).
W szczególności więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\).
Z drugiej strony nie ma żadnych dwóch różnych liczb \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\), dla których byłoby \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ x in [0,1), yin [0,1)}\), to \(\displaystyle{ [x]=[y]=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x-[x]=y-[y] \Leftrightarrow x=y}\).
Zatem okres podstawowy \(\displaystyle{ f}\) nie może być mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 2 lis 2017, o 08:51
autor: lolo666
Już wiem, czemu mi to nie wychodziło - źle szkicowałem wykres funkcji
Narysowałem teraz ok i napisałem coś takiego:
"Z wykresu wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
Bardzo ciekawie rozpisał to Premislav, ale czy moje wnioski też byłyby zaliczone jako poprawne, gdybym tak napisał na kolokwium (gdyby było takie zadanie)?
Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji
: 2 lis 2017, o 11:25
autor: Premislav
Jeszcze może dodam mały komentarz: liczba
\(\displaystyle{ [x]+1+n}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), jest całkowita, dlatego też z
\(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\) wynika, że
\(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]}\) (ktoś mógłby pomyśleć, że utrzymuję, iż dla dowolnych
\(\displaystyle{ x,y}\) mamy
\(\displaystyle{ x<y \Rightarrow [x]<[y]}\), co jest nieprawdą np. dla
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{7}, y=\frac 1 2}\)).
"Z wykresu wynika, że dla każdego\(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
To jest niestety niewystarczające. Zauważ, co Pan Kraszewski i ja pisaliśmy o konieczności wykazania, że okres nie może być tu mniejszy niż
\(\displaystyle{ 1}\).
Funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( 4\pi x \right)}\) też spełnia
\(\displaystyle{ f(x+t)=f(x)}\) dla każdego
\(\displaystyle{ t \in \NN}\), ale jej okresem podstawowym jest
\(\displaystyle{ \frac 1 2}\), a nie
\(\displaystyle{ 1}\).