Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: lolo666 » 1 lis 2017, o 20:45

O ile wiem jak wyznaczać okres podstawowy funkcji trygonometrycznych, to w tego typu nie wiem, od czego zacząć. Mam taką funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = x - [x]}\)

gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) to część całkowita.

Liczę na wytłumaczenie tego przykładu
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 20:59

Okresem podstawowym tej funkcji jest \(\displaystyle{ 1}\).
Nie wiem za bardzo, co tu tłumaczyć, myślę, że najlepiej by było, gdybyś narysował sobie fragment wykresu takiej funkcji (oczywiście to jeszcze nie jest dowód).

lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: lolo666 » 1 lis 2017, o 22:30

A jak to wykazać? Bo nie mam pomysłu

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27305
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 1 lis 2017, o 22:46

Pokaż, że \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\) oraz że dla każdego \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+a)\neq f(x)}\).

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 22:48

Jeżeli naszkicujesz sobie fragment wykresu, to dojdziesz do wniosku, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)}\). Oto dowód tej obserwacji:
\(\displaystyle{ f(x+n)=x+n-[x+n]}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\), a tak się dzieje, gdyż z jednej strony oczywiście \(\displaystyle{ x+n\ge [x]+n}\), a stąd \(\displaystyle{ [x+n]\ge [[x]+n]=[x]+n}\), natomiast z drugiej strony jest \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\), czyli \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]=[x]+1+n}\),
czyli \(\displaystyle{ [x+n]}\) jest liczbą całkowitą z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle [x]+n, [x]+1+n\right)}\),
zatem \(\displaystyle{ [x+n]=[x]+n}\).

W szczególności więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)}\).

Z drugiej strony nie ma żadnych dwóch różnych liczb \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\), dla których byłoby \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ x in [0,1), yin [0,1)}\), to \(\displaystyle{ [x]=[y]=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=f(y) \Leftrightarrow x-[x]=y-[y] \Leftrightarrow x=y}\).
Zatem okres podstawowy \(\displaystyle{ f}\) nie może być mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).

lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: lolo666 » 2 lis 2017, o 08:51

Już wiem, czemu mi to nie wychodziło - źle szkicowałem wykres funkcji

Narysowałem teraz ok i napisałem coś takiego:

"Z wykresu wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)

A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"

Bardzo ciekawie rozpisał to Premislav, ale czy moje wnioski też byłyby zaliczone jako poprawne, gdybym tak napisał na kolokwium (gdyby było takie zadanie)?
Ostatnio zmieniony 2 lis 2017, o 08:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji

Post autor: Premislav » 2 lis 2017, o 11:25

Jeszcze może dodam mały komentarz: liczba \(\displaystyle{ [x]+1+n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), jest całkowita, dlatego też z \(\displaystyle{ x+n<[x]+1+n}\) wynika, że \(\displaystyle{ [x+n]<[[x]+1+n]}\) (ktoś mógłby pomyśleć, że utrzymuję, iż dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) mamy \(\displaystyle{ x<y \Rightarrow [x]<[y]}\), co jest nieprawdą np. dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{7}, y=\frac 1 2}\)).
"Z wykresu wynika, że dla każdego\(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x+t) = f(x)}\)
A więc okresem funkcji będzie każda liczba naturalna. Zatem okresem podstawowym będzie najmniejsza liczba naturalna, czyli \(\displaystyle{ 1}\)"
To jest niestety niewystarczające. Zauważ, co Pan Kraszewski i ja pisaliśmy o konieczności wykazania, że okres nie może być tu mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( 4\pi x \right)}\) też spełnia \(\displaystyle{ f(x+t)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in \NN}\), ale jej okresem podstawowym jest \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\).

ODPOWIEDZ