spr. czy funkcja jest roznowartosciowa
: 29 lip 2011, o 15:05
Czy można w ten sposób pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+ \mbox{sin}x}\) jest różnowartościowa?
Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in R}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).
\(\displaystyle{ x_1+\mbox{sin}x_1=x_2+\mbox{sin}x_2 \\
x_1+\mbox{sin}x_1-x_2-\mbox{sin}x_2=0 \\
(x_1-x_2)+(\mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2)=0 \\
x_1-x_2=0 \wedge \mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2=0 \\
x_1=x_2 \wedge \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2 \Rightarrow x_2=2\pi k + x_1}\), gdy \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
Zatem doszliśmy do tego, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc różnowartościowa.
Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in R}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).
\(\displaystyle{ x_1+\mbox{sin}x_1=x_2+\mbox{sin}x_2 \\
x_1+\mbox{sin}x_1-x_2-\mbox{sin}x_2=0 \\
(x_1-x_2)+(\mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2)=0 \\
x_1-x_2=0 \wedge \mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2=0 \\
x_1=x_2 \wedge \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2 \Rightarrow x_2=2\pi k + x_1}\), gdy \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
Zatem doszliśmy do tego, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc różnowartościowa.