spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 15:05

Czy można w ten sposób pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x+ \mbox{sin}x}\) jest różnowartościowa?

Pokażemy, że dla każdych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in R}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).
\(\displaystyle{ x_1+\mbox{sin}x_1=x_2+\mbox{sin}x_2 \\ x_1+\mbox{sin}x_1-x_2-\mbox{sin}x_2=0 \\ (x_1-x_2)+(\mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2)=0 \\ x_1-x_2=0 \wedge \mbox{sin}x_1-\mbox{sin}x_2=0 \\ x_1=x_2 \wedge \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2}\)

\(\displaystyle{ \mbox{sin}x_1=\mbox{sin}x_2 \Rightarrow x_2=2\pi k + x_1}\), gdy \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)

Zatem doszliśmy do tego, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), więc różnowartościowa.
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 21:44 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj jedne klamry [latex][/latex] na całe wyrażenie.

miodzio1988

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 15:08

4 linijka jest do bani. Dla przykładu:

\(\displaystyle{ x+ y =0}\)

Z tego nie musi wynikać, że \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ y=0}\). Weź np:

\(\displaystyle{ x=3=-y}\)

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 15:09

Więc jak to prawidłowo wykazać?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: » 29 lip 2011, o 15:12

Wskazówka: pochodna tej funkcji jest nieujemna.

Q.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 15:22

Na początku też myślałam, żeby to rozwiązać przy pomocy pochodnej, ale zwątpiłam.
Czyli:
\(\displaystyle{ f'(x)=1+ \mbox{cos}x \ge 0}\), Z tego wynika, że skoro pochodna jest nieujemna, to funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych, zatem jest różnowartościowa.

miodzio1988

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 15:23

No i jest spoko.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 15:28

Merci;)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4498 razy

spr. czy funkcja jest roznowartosciowa

Post autor: Jan Kraszewski » 2 sie 2011, o 20:18

BlueSky pisze:Z tego wynika, że skoro pochodna jest nieujemna, to funkcja f(x) jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych, zatem jest różnowartościowa.
Prawie dobrze. Zauważ, że funkcja zadana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=0}\) też ma pochodną nieujemną, a różnowartościowa jakoś nie jest.

JK

ODPOWIEDZ