Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log^3 x - 3 \log x}=10}\)

wychodzą mi odpowiedzi: \(\displaystyle{ x=10 \vee x=1 \vee x= \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\) z czego z dziedziny wylatuje \(\displaystyle{ x=1}\)

Według odpowiedzi powinno być: \(\displaystyle{ x=10 \vee x= \frac{1}{10}}\)

Mógłby ktoś to zweryfikować?

Podstaw i sprawdź.

Nie wiem dlaczego z dziedziny wypada Ci jedynka.
Logarytmując obustronnie dostaniemy
\(\displaystyle{ (4\log^3x-3\log x)\log x=\log10}\)
\(\displaystyle{ 4\log^4x-3\log^2x-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \log^2x=t}\)
\(\displaystyle{ 4t^2-3t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac14,\quad t_2=1}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy, z drugiego dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2x=1}\)
\(\displaystyle{ \log x=1\vee \log x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=10\vee x=\frac{1}{10}}\)

No dobrze, to skoro wiem, że mam źle, to kto chętny znaleźć błąd:

\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10}\)

\(\displaystyle{ D: x \in (0, + \infty ) - \left\{ 1\right\}}\)

\(\displaystyle{ \log x (4\log ^3 x - 3 \log x)= \log 10}\)

\(\displaystyle{ \log x = t}\)

\(\displaystyle{ 4t^4- 3t^2 -1 = 0}\)

\(\displaystyle{ (4t+1)(t-1)t=0}\)

\(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4} \vee t=1 \vee t=0}\)

\(\displaystyle{ \log x = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\)

\(\displaystyle{ \log x =1 \Rightarrow x=10}\)

\(\displaystyle{ \log x = 0 \Rightarrow x=1}\)

A 1 z dziedziny wyrzuciłam z własności: \(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10 \Leftrightarrow \log _{x} 10 = 4 \log ^3 x - 3 \log x}\)

chris_f Twoje rozwiązanie ma sens, ale nadal nie wiem, gdzie robię błąd w moim

Popsułaś między 5tą a 6stą linijką.

Już widzę, bardzo dziękuję za pomoc!
EDIT. a jeszcze zapytam, tą \(\displaystyle{ 1}\) wyrzucać z dziedziny też, czy nie?

Możesz wyrzucić.

Co do tego wyrzucania byłbym przeciwny. Niby dlaczego za \(\displaystyle{ x}\)-a nie można w równaniu podstawić jedynki?
Oczywiście przekonamy się, że nie jest to rozwiązanie, ale rozumując w ten sposób można by z dziedziny wyrzucić np 17, 586 czy coś podobnego.
Dziedzinę równania określamy od razu, bez żadnych przekształceń. Należą do niej wszystkie wartości \(\displaystyle{ x}\), które można wstawić do równania bez przeszkód, a to czy otrzymamy równość prawdziwą, czy nie, to już inna historia.

Skoro wiesz, że nie działa to możesz (nie oznacza musisz) odrzucić nie tylko jeden.

Ja jestem tego samego zdania co chris_f. Idąc takim tokiem rozumowania jak piasek101, można dojść do wniosku że dziedziną równania są jedynie te liczby, które je spełniają, no a to już jest oczywista bzdura. Na pewno określenie dziedziny jako \(\displaystyle{ x>0 \wedge x \neq 1}\) potraktowałbym jako błąd rozwiązującego.

No to jak potraktujesz \(\displaystyle{ \sqrt{x-1}-x+5=0}\) ?

Najpierw wyznaczę dziedzinę równania, która to określi że \(\displaystyle{ x \ge 1}\).

I tę dziedzinę pozostawisz jako zbiór z którego będziesz brał rozwiązania ?

No jasne, a jak inaczej?

No to rozwiąż to równanie - będzie podobnie jak w przykładzie od którego się zaczęło.