równanie logarytmiczne, błędny wynik

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: Fritillaria » 12 paź 2013, o 21:45

\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log^3 x - 3 \log x}=10}\)

wychodzą mi odpowiedzi: \(\displaystyle{ x=10 \vee x=1 \vee x= \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\) z czego z dziedziny wylatuje \(\displaystyle{ x=1}\)

Według odpowiedzi powinno być: \(\displaystyle{ x=10 \vee x= \frac{1}{10}}\)

Mógłby ktoś to zweryfikować?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 12 paź 2013, o 21:46

Podstaw i sprawdź.

chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: chris_f » 12 paź 2013, o 21:53

Nie wiem dlaczego z dziedziny wypada Ci jedynka.
Logarytmując obustronnie dostaniemy
\(\displaystyle{ (4\log^3x-3\log x)\log x=\log10}\)
\(\displaystyle{ 4\log^4x-3\log^2x-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ \log^2x=t}\)
\(\displaystyle{ 4t^2-3t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ t_1=-\frac14,\quad t_2=1}\)
Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy, z drugiego dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2x=1}\)
\(\displaystyle{ \log x=1\vee \log x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=10\vee x=\frac{1}{10}}\)

Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: Fritillaria » 12 paź 2013, o 22:02

No dobrze, to skoro wiem, że mam źle, to kto chętny znaleźć błąd:

\(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10}\)

\(\displaystyle{ D: x \in (0, + \infty ) - \left\{ 1\right\}}\)

\(\displaystyle{ \log x (4\log ^3 x - 3 \log x)= \log 10}\)

\(\displaystyle{ \log x = t}\)

\(\displaystyle{ 4t^4- 3t^2 -1 = 0}\)

\(\displaystyle{ (4t+1)(t-1)t=0}\)

\(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4} \vee t=1 \vee t=0}\)

\(\displaystyle{ \log x = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{ \sqrt[4]{10} }}\)

\(\displaystyle{ \log x =1 \Rightarrow x=10}\)

\(\displaystyle{ \log x = 0 \Rightarrow x=1}\)

A 1 z dziedziny wyrzuciłam z własności: \(\displaystyle{ x ^{ 4 \log ^3 x - 3 \log x}=10 \Leftrightarrow \log _{x} 10 = 4 \log ^3 x - 3 \log x}\)

chris_f Twoje rozwiązanie ma sens, ale nadal nie wiem, gdzie robię błąd w moim
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 23:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 12 paź 2013, o 22:05

Popsułaś między 5tą a 6stą linijką.

Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: Fritillaria » 12 paź 2013, o 22:18

Już widzę, bardzo dziękuję za pomoc!
EDIT. a jeszcze zapytam, tą \(\displaystyle{ 1}\) wyrzucać z dziedziny też, czy nie?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 12 paź 2013, o 22:23

Możesz wyrzucić.

chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: chris_f » 12 paź 2013, o 22:28

Co do tego wyrzucania byłbym przeciwny. Niby dlaczego za \(\displaystyle{ x}\)-a nie można w równaniu podstawić jedynki?
Oczywiście przekonamy się, że nie jest to rozwiązanie, ale rozumując w ten sposób można by z dziedziny wyrzucić np 17, 586 czy coś podobnego.
Dziedzinę równania określamy od razu, bez żadnych przekształceń. Należą do niej wszystkie wartości \(\displaystyle{ x}\), które można wstawić do równania bez przeszkód, a to czy otrzymamy równość prawdziwą, czy nie, to już inna historia.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 12 paź 2013, o 22:30

Skoro wiesz, że nie działa to możesz (nie oznacza musisz) odrzucić nie tylko jeden.

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: cosinus90 » 13 paź 2013, o 00:01

Ja jestem tego samego zdania co chris_f. Idąc takim tokiem rozumowania jak piasek101, można dojść do wniosku że dziedziną równania są jedynie te liczby, które je spełniają, no a to już jest oczywista bzdura. Na pewno określenie dziedziny jako \(\displaystyle{ x>0 \wedge x \neq 1}\) potraktowałbym jako błąd rozwiązującego.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 13 paź 2013, o 20:31

No to jak potraktujesz \(\displaystyle{ \sqrt{x-1}-x+5=0}\) ?

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: cosinus90 » 13 paź 2013, o 21:21

Najpierw wyznaczę dziedzinę równania, która to określi że \(\displaystyle{ x \ge 1}\).

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 13 paź 2013, o 21:25

I tę dziedzinę pozostawisz jako zbiór z którego będziesz brał rozwiązania ?

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: cosinus90 » 13 paź 2013, o 21:37

No jasne, a jak inaczej?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

równanie logarytmiczne, błędny wynik

Post autor: piasek101 » 13 paź 2013, o 21:44

No to rozwiąż to równanie - będzie podobnie jak w przykładzie od którego się zaczęło.

ODPOWIEDZ