Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) większej od \(\displaystyle{ 2}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot ... \cdot \log_{k+1} k=\log_{k+1} 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x}\)

z tego skorzystaj

Czy naprawdę myślisz, że z tego nie korzystałem?

No zamień wszystkie czynniki po lewej na logarytmy o podstawie \(\displaystyle{ k+1}\) i wszystko Ci się poskraca, jak nie wyjdzie to pisz

kamil13151 pisze:Czy naprawdę myślisz, że z tego nie korzystałem?

Tak.

M.

Vax, Dzięki, tylko to jest nieskończony ciąg, a takie zwykłe skracanie raczej by nie było dowodem?

Da się to zrobić indukcyjnie bądź inaczej?

miodzio1988, mylisz się.

Ten ciąg jest skończony...

M.

miodzio1988, no fakt, czy da się obliczyć jakiś wzór?

wzór na co?

Vax pisze:No zamień wszystkie czynniki po lewej na logarytmy o podstawie \(\displaystyle{ k+1}\) i wszystko Ci się poskraca, jak nie wyjdzie to pisz

Kolega Ci napisał co zrobić...

Na ciąg po lewej, np. dla różnych sum zależnych mamy metodę zaburzenia sum, jednak tu mamy mnożenie Choć nawet próbowałem jej użyć \(\displaystyle{ \prod^{k} _{n=2} \log_{n+1} n}\) , ale się nie da. Napisał, ale ja szukam innych metod.

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x}\)

z tego skorzystaj

Z tego skorzystaj. Serio, nie jest to trudne.

To przecież dojdę do tego samego, do skracania...

A to źle? Przecież to poprawny dowód będzie

Mnie on nie bardzo satysfakcjonuje, chciałbym poznać inny

Jak Ci tak zależy, to rozważ ciąg
\(\displaystyle{ a_1 = \log_23 \\
a_n = a_{n-1}\log_{n+2}(n+1)}\)
i "zauważmy, że \(\displaystyle{ a_n = \log_{n+2}2}\) [tutaj dowód indukcyjny]".