Wykaż równość

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 16:48

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) większej od \(\displaystyle{ 2}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot ... \cdot \log_{k+1} k=\log_{k+1} 2}\)

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 16:50

\(\displaystyle{ \frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x}\)

z tego skorzystaj

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 16:52

Czy naprawdę myślisz, że z tego nie korzystałem?

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Wykaż równość

Post autor: Vax » 7 sie 2011, o 16:53

No zamień wszystkie czynniki po lewej na logarytmy o podstawie \(\displaystyle{ k+1}\) i wszystko Ci się poskraca, jak nie wyjdzie to pisz

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 16:57

kamil13151 pisze:Czy naprawdę myślisz, że z tego nie korzystałem?
Tak.

M.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 17:02

Vax, Dzięki, tylko to jest nieskończony ciąg, a takie zwykłe skracanie raczej by nie było dowodem?

Da się to zrobić indukcyjnie bądź inaczej?

miodzio1988, mylisz się.

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 17:04

Ten ciąg jest skończony...

M.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 17:46

miodzio1988, no fakt, czy da się obliczyć jakiś wzór?

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 17:47

wzór na co?
Vax pisze:No zamień wszystkie czynniki po lewej na logarytmy o podstawie \(\displaystyle{ k+1}\) i wszystko Ci się poskraca, jak nie wyjdzie to pisz
Kolega Ci napisał co zrobić...

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 17:55

Na ciąg po lewej, np. dla różnych sum zależnych mamy metodę zaburzenia sum, jednak tu mamy mnożenie Choć nawet próbowałem jej użyć \(\displaystyle{ \prod^{k} _{n=2} \log_{n+1} n}\) , ale się nie da. Napisał, ale ja szukam innych metod.

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 17:56

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x}\)

z tego skorzystaj
Z tego skorzystaj. Serio, nie jest to trudne.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 18:02

To przecież dojdę do tego samego, do skracania...

miodzio1988

Wykaż równość

Post autor: miodzio1988 » 7 sie 2011, o 18:03

A to źle? Przecież to poprawny dowód będzie

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż równość

Post autor: kamil13151 » 7 sie 2011, o 18:07

Mnie on nie bardzo satysfakcjonuje, chciałbym poznać inny

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

Wykaż równość

Post autor: ordyh » 7 sie 2011, o 19:16

Jak Ci tak zależy, to rozważ ciąg
\(\displaystyle{ a_1 = \log_23 \\ a_n = a_{n-1}\log_{n+2}(n+1)}\)
i "zauważmy, że \(\displaystyle{ a_n = \log_{n+2}2}\) [tutaj dowód indukcyjny]".
Ostatnio zmieniony 7 sie 2011, o 21:42 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jedne klamry [latex][/latex] na całe wyrażenie.

ODPOWIEDZ