Matematyka.pl

Z talii 52 kart wyciągamy jedną. Zbadaj niezależność zdarzeń:
A) A - wylosujemy karte czerwoną, B - wylosujemy kartę czarną
\(\displaystyle{ |\Omega|=52}\)
\(\displaystyle{ |A|=26}\)
\(\displaystyle{ |B|=26}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{26}{52}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{26}{52}}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B|=0}\) -> czy to jest dobrze? Bo nie da sie wylosować i czarnej i czerwonej karty
zatem
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{52}=\frac{26}{52}*\frac{26}{52}}\)
Odp: Zdarzenia są zależne.
Czy to jest dobrze?

Ogólnie dobrze tylko zapis nalezy trochę poprawić.
Pytamy się czy zachodzi:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A) P(B)}\)
Z tego że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\) wynika \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\)
Dodatkowo:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2} \\ P(B)=\frac{1}{2}}\)
Czyli widzimy że lewa strona jest różna od prawej (\(\displaystyle{ \frac{1}{4} 0}\)) wiec zdarzenia nie są niezależne.

Aha, dzięki, poprawie
Ale mam problem z innym zadaniem
Mianowicie:
Wyłowiliśmy ze stawu 20 ryb, oznakowaliśmy je, po czym wpuściliśmy z powrotem. Przy ponownym połowie wyłowiliśmy znów 20 ryb, w tym 4 oznakowane. Niech N oznacza liczbe wszystkich ryb w stawie.
a) Wykaż, że prawdopodobieństwo, iż wśród 20 wyłowionych będą dokładnie 4 oznakowane, wynosi \(\displaystyle{ \frac{{N-20\choose 16}*{20\choose 4}}{{N\choose 20}}}\)

Jak mam to wykazać i zapisać?

Masz dwa zbiory:
ryby oznakowane: jest ich 20
ryby nieoznakowane: jest ich N-20
Na ile sposobów można wybrać ze zbioru N 20 ryb tak, żeby 4 były oznakowane, a 16 nie?
\(\displaystyle{ {20\choose4}{n-20\choose16}}\)
Ale masz policzyć prawdopodobieństwo, że tak będzie, więc musisz podzielić przez wszystkie możliwości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{{N\choose20}}}\)

hmm, ale tu nie ma co wykazywać, po prostu taki jest wynik i trzeba go albo zrozumieć albo jeszcze lepiej samemu wyznaczyć.
20 - liczba oznakowanych ryb
N - 20 - liczba nieoznakowanych ryb
A - wylosowano dokładnie 4 oznakowane ryby
Moze w ten sposób bedzie czytelniej dla Ciebie:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{C^4_{20} C^{16}_{N-20}}{C^{20}_N}}\)
Czyli jak przekształcisz kombinacje na symbole Newtona to otrzymasz dokładnie to samo.

Aha rozumiem to co napisaliście
Ale jak ja mam to zapisać żeby wykazać to prawdopodobieństwo?
Po prostu nie łapie jak mam to napisać, żeby się później nauczyciel nie przyczepił o zapis, bo ucina mi za to punkty
Czy mam napisać to co Drizzt i to wystarczy?

Wg mnie w ogole to pytanie jest dziwnie sformułowane. Trudno mi coś powiedzieć bo nauczyciele mają rózne fobie.
Moim zdaniem najrozsądniej zrobić tak:
Zapisać samo zadanie, bez wyniku. Potem w/w metodami kombinatorycznymi dojść do wyniku (możesz czynić jakies słowne komentarze przy wyliczeniach aby Cie nie oskarżono o wzorowanie sie na wyniku). Następnie porównać swój wynik z proponowanym.

Krótko mówiąc rozwiąż to zadanie tak jakbyś nie znal wyniku.