Matematyka.pl

Z odcinka \(\displaystyle{ [0,4]}\) losujemy dwa punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ L}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że odcinek \(\displaystyle{ ML}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ [1,2]}\)?
Spotykałem sie z tego typu zadaniami, gdy było pytanie o długośc odcinka, ale nie wiem jak zrobić to w tym przypadku.

Mamy więc \(\displaystyle{ x,y\in[0,4].}\) Niech \(\displaystyle{ m=\min\{x,y\},M=\max\{x,y\}.}\) Przedział \(\displaystyle{ [m,M]}\) przecina przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m\le 2}\) oraz \(\displaystyle{ M\ge 1.}\) Istotnie, w przeciwnym przypadku mamy \(\displaystyle{ m>2}\) lub \(\displaystyle{ M<1,}\) skąd jasno widać, że oba przedziały są rozłączne.

Szukane prawdopodobieństwo wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{5}{16}.}\)

Nie rozumiem dlaczego wyznaczyłeś te min i max, mógłbyś wytłumaczyć?

Bo kiedy z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) zbudujesz przedział? Mój model obejmuje warunek

\(\displaystyle{ \left[\min\{x,y\},\max\{x,y\}\right]\cap[1,2]\ne\emptyset,}\)

który uwzględnia uporządkowanie końców. Istotnie,

\(\displaystyle{ [a,b]\cap[c,d]\ne\emptyset\iff b\ge c\wedge a\le d.}\)

A czy możesz zdefiniować pojęcie
"przedział przecina przedział"?