Matematyka.pl

Mamy lampkę, która (zakładamy) przepali się po \(\displaystyle{ x}\) godzinach, gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\) o gęstości wykładniczej \(\displaystyle{ f(x)=\lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x}}\) . Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lambda=0,01}\) . Należy znaleźć prawdopodobieństwo, że żarówka nie przepali się przed upływem \(\displaystyle{ T}\) godzin. Czyli odwracając pytanie, że przepali się po upływie \(\displaystyle{ T}\) godzin.
Najpierw zapytam, czy to nie jest tak, iż jest to wartość dystrybuanty od \(\displaystyle{ T}\) ? Czyli \(\displaystyle{ F(T)=1-e^{-0,01T}}\). Twierdzę, że chyba nie ...

\(\displaystyle{ F(T)= Pr(\{X<T\}) = \int_{0}^{T}0,01e^{-0,01x}dx =...}\)

albo bezpośrednio, gdy znamy wzór na dystrybuantę rozkładu wykładniczego:

\(\displaystyle{ Pr(\{X<T\}) = F(T) =1 - e^{-0,01T}}\)

Czyli jednak tak. Teraz pytamy się, dla jakiego \(\displaystyle{ T}\) niezawodność wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ?
Zatem tutaj wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 1-e^{-0,01T}= \frac{1}{2}}\) . Tutaj otrzymujemy \(\displaystyle{ T \approx 69}\) .
Mam jednak taki problem: W celu zwiększenia niezawodności zamiast jednej żarówki zainstalowano dwie działające niezależnie. Jaka jest niezawodności układu dla \(\displaystyle{ T \approx 69}\) . Czy tutaj wystarczy rozwiązać \(\displaystyle{ F_X(69) \cdot F_Y(69)}\) , gdzie \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) mają taki sam rozkład wykładniczy.

Jako model długości świecenia pierwszej żarówki przyjmujemy rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ P_{1}}\) na prostej \(\displaystyle{ \mathcal{R}^{1}_{x}}\) (na osi \(\displaystyle{ x}\)-ów) o gęstości \(\displaystyle{ f_{1}(x)\equiv f(x)}\) .

Jako model długości świecenia drugiej żarówki przyjmujemy rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ P_{2}}\) na prostej \(\displaystyle{ \mathcal{R}^{1}_{y}}\) (na osi \(\displaystyle{ y}\)-ków) o gęstości \(\displaystyle{ f_{2}(y)\equiv f(y)}\) .

Oba doświadczenia cząstkowe uznajemy za niezależne od siebie (w sensie potocznym).

Dlatego jako model doświadczenia łącznego polegającego na świeceniu obu żarówek przyjmujemy rozkład produktowy \(\displaystyle{ P = P_{1}\times P_{2}}\) tzn. rozkład \(\displaystyle{ P}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathcal{R}^2 = \mathcal{R}^{1}_{x}\times \mathcal{R}^{1}_{y}}\) , o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y) = f_{1}(x)\cdot f_{2}(y)}\) .