Prawdopodobieństwo jako niezawodność lampki.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1049
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków

Prawdopodobieństwo jako niezawodność lampki.

Post autor: pawlo392 » 8 sty 2018, o 00:02

Mamy lampkę, która (zakładamy) przepali się po \(x\) godzinach, gdzie \(x\) jest zmienną z przedziału \([0,1)\) o gęstości wykładniczej \(f(x)=\lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x}\) . Załóżmy, że \(\lambda=0,01\) . Należy znaleźć prawdopodobieństwo, że żarówka nie przepali się przed upływem \(T\) godzin. Czyli odwracając pytanie, że przepali się po upływie \(T\) godzin.
Najpierw zapytam, czy to nie jest tak, iż jest to wartość dystrybuanty od \(T\) ? Czyli \(F(T)=1-e^{-0,01T}\). Twierdzę, że chyba nie ...
Ostatnio zmieniony 8 sty 2018, o 00:53 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Prawdopodobieństwo jako niezawodność lampki.

Post autor: janusz47 » 8 sty 2018, o 09:32

\(F(T)= Pr(\{X<T\}) = \int_{0}^{T}0,01e^{-0,01x}dx =...\)

albo bezpośrednio, gdy znamy wzór na dystrybuantę rozkładu wykładniczego:

\(Pr(\{X<T\}) = F(T) =1 - e^{-0,01T}\)

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1049
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków

Re: Prawdopodobieństwo jako niezawodność lampki.

Post autor: pawlo392 » 9 sty 2018, o 19:30

Czyli jednak tak. Teraz pytamy się, dla jakiego \(T\) niezawodność wynosi \(\frac{1}{2}\) ?
Zatem tutaj wystarczy rozwiązać równanie \(1-e^{-0,01T}= \frac{1}{2}\) . Tutaj otrzymujemy \(T \approx 69\) .
Mam jednak taki problem: W celu zwiększenia niezawodności zamiast jednej żarówki zainstalowano dwie działające niezależnie. Jaka jest niezawodności układu dla \(T \approx 69\) . Czy tutaj wystarczy rozwiązać \(F_X(69) \cdot F_Y(69)\) , gdzie \(X\) oraz \(Y\) mają taki sam rozkład wykładniczy.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prawdopodobieństwo jako niezawodność lampki.

Post autor: janusz47 » 9 sty 2018, o 21:05

Jako model długości świecenia pierwszej żarówki przyjmujemy rozkład wykładniczy \(P_{1}\) na prostej \(\mathcal{R}^{1}_{x}\) (na osi \(x\)-ów) o gęstości \(f_{1}(x)\equiv f(x)\) .

Jako model długości świecenia drugiej żarówki przyjmujemy rozkład wykładniczy \(P_{2}\) na prostej \(\mathcal{R}^{1}_{y}\) (na osi \(y\)-ków) o gęstości \(f_{2}(y)\equiv f(y)\) .

Oba doświadczenia cząstkowe uznajemy za niezależne od siebie (w sensie potocznym).

Dlatego jako model doświadczenia łącznego polegającego na świeceniu obu żarówek przyjmujemy rozkład produktowy \(P = P_{1}\times P_{2}\) tzn. rozkład \(P\) na płaszczyźnie \(\mathcal{R}^2 = \mathcal{R}^{1}_{x}\times \mathcal{R}^{1}_{y}\) , o gęstości \(f(x,y) = f_{1}(x)\cdot f_{2}(y)\) .

ODPOWIEDZ