Matematyka.pl

Witam
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Ciężar jaj kurzych ma rozkład N(0,05kg;0,005kg)
- jakie jest prawdopodobieństwo ze 20 szt. tych jaj nie przekroczy 1,2 KG.
- jakie jest prawdopodobieństwo ze różnica miedzy waga dwóch jaj nie przekroczy 20 gr.

Ogólnie: jeżeli \(\displaystyle{ X_i N(\mu;\sigma^2)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i N(n\mu;n\sigma^2)}\), zaś \(\displaystyle{ X_i-X_j\sim N(0;2\sigma^2)}\).

Zatem:

a) \(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{n}X_i qslant m\right)=P\left(U qslant \frac{m-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)=\Phi\left(\frac{m-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)}\)

b) \(\displaystyle{ P\left(|X_i-X_j| qslant m\right)=P\left(-\frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\leqslant U qslant \frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)=2\Phi\left(\frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)-1}\)

podstawiasz wartości i wynik odczytujesz z tablic

czyli odpowiedź w a) wynosi \(\displaystyle{ \Phi (8,94)}\)

[ Dodano: 15 Września 2007, 12:20 ]
Acha i jeszce jedno bo gdy mamy powyższy wynik to prawdopodobieństwo wynosi: 0?
Dzięki za pomoc w zadaniu.

a) \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{1.2-20\cdot0.05}{\sqrt{20\cdot0.005}}\right)=\Phi(0.63)=0.74}\)
b) \(\displaystyle{ 2\Phi\left(\frac{0.02}{\sqrt{2\cdot 0.005}}\right)-1=2\Phi(0.2)-1=0.16}\)

btw: \(\displaystyle{ \Phi(8.94)=1}\)

rozumiem że tutaj korzystamy z twierdzenia lindeberga-levy'ego
a wg. wzoru w pkt. a) pierwiastkujemy tylko "n" a D(x) nie

[ Dodano: 15 Września 2007, 15:31 ]
Dlaytego że

\(\displaystyle{ N(m,\delta)}\) Więc \(\displaystyle{ N(0,05;0,005)}\)

Skąd jest to zadanie?
Przypuszczam że z Krysickiego gdyż u niego widziałem niekonwencjonalne oznaczenie, mianowicie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\) zamiast \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\)
I jak są podane liczby to niewiadomo czy jest to wariancja czy odchylenie standardowe...

Przedstawię swoję rozwiazanie, wygląda na dobre, choć pewności nie mam co do niego. Wyniki oczywiscie sa inne niż u Jovante gdyż on nie przypuszczał że druga liczba oznacza odchylenie standardowe. No albo inne bo ja mam źle; )
No to tak:
a)
X - ciężar jednego jaja
Y - cieżar 20 jaj
\(\displaystyle{ X \sim \mtahcal{N}(\frac{1}{20},\frac{1}{200}) \\
Y \sim \mtahcal{N}(1,\frac{1}{10}) \\
Z=\frac{Y-1}{\frac{1}{10}} => Y=10Z+1 \\
P(Y \leqslant 1,2)=P(10Z+1 \leqslant 1,2)=P(Z \leqslant 0,02)= \Phi(0,02) \approx 0,5}\)

b)
X - ciężar 1 jaja (tym razem w gramach)
Y - różnica ciężarów dwóch jaj
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(50,5) \\
Y \sim \mathcal{N}(0,10) \\
Z=\frac{Y}{10} => Y=10Z \\
P(|Y| qslant 20)=P(|10Z| qslant 20)=P(-2 qslant Z qslant 2)=2 \Phi(2)-1 0,95}\)

Tak, przyjąłem, że mamy daną wariancję, a nie odchylenie standardowe.


Drizzt skoro przyjąłeś, że podane jest jednak odchylenie standardowe, to jeżeli
\(\displaystyle{ X_i \sim N(\mu, \sigma)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu,\sqrt{n}\sigma)}\), a nie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu,n\sigma)}\)

Drizzt pisze: \(\displaystyle{ Z=\frac{Y-1}{\frac{1}{10}} => Y=10Z+1}\)

oj...

Przegiąłem z tym przekształceniem.

Ja już może zostawie ten temat...