Rozkład normalny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
jamess8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2007, o 09:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy

Rozkład normalny

Post autor: jamess8 » 15 wrz 2007, o 09:51

Witam
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Ciężar jaj kurzych ma rozkład N(0,05kg;0,005kg)
- jakie jest prawdopodobieństwo ze 20 szt. tych jaj nie przekroczy 1,2 KG.
- jakie jest prawdopodobieństwo ze różnica miedzy waga dwóch jaj nie przekroczy 20 gr.
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 14:20 przez jamess8, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Rozkład normalny

Post autor: jovante » 15 wrz 2007, o 11:26

Ogólnie: jeżeli \(\displaystyle{ X_i N(\mu;\sigma^2)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i N(n\mu;n\sigma^2)}\), zaś \(\displaystyle{ X_i-X_j\sim N(0;2\sigma^2)}\).

Zatem:

a) \(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{n}X_i qslant m\right)=P\left(U qslant \frac{m-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)=\Phi\left(\frac{m-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)}\)

b) \(\displaystyle{ P\left(|X_i-X_j| qslant m\right)=P\left(-\frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\leqslant U qslant \frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)=2\Phi\left(\frac{m}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)-1}\)

podstawiasz wartości i wynik odczytujesz z tablic

jamess8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2007, o 09:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy

Rozkład normalny

Post autor: jamess8 » 15 wrz 2007, o 12:18

czyli odpowiedź w a) wynosi \(\displaystyle{ \Phi (8,94)}\)

[ Dodano: 15 Września 2007, 12:20 ]
Acha i jeszce jedno bo gdy mamy powyższy wynik to prawdopodobieństwo wynosi: 0?
Dzięki za pomoc w zadaniu.

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Rozkład normalny

Post autor: jovante » 15 wrz 2007, o 13:10

a) \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{1.2-20\cdot0.05}{\sqrt{20\cdot0.005}}\right)=\Phi(0.63)=0.74}\)
b) \(\displaystyle{ 2\Phi\left(\frac{0.02}{\sqrt{2\cdot 0.005}}\right)-1=2\Phi(0.2)-1=0.16}\)

btw: \(\displaystyle{ \Phi(8.94)=1}\)

jamess8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2007, o 09:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy

Rozkład normalny

Post autor: jamess8 » 15 wrz 2007, o 15:21

rozumiem że tutaj korzystamy z twierdzenia lindeberga-levy'ego
a wg. wzoru w pkt. a) pierwiastkujemy tylko "n" a D(x) nie

[ Dodano: 15 Września 2007, 15:31 ]
Dlaytego że

\(\displaystyle{ N(m,\delta)}\) Więc \(\displaystyle{ N(0,05;0,005)}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład normalny

Post autor: Emiel Regis » 15 wrz 2007, o 17:17

Skąd jest to zadanie?
Przypuszczam że z Krysickiego gdyż u niego widziałem niekonwencjonalne oznaczenie, mianowicie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\) zamiast \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\)
I jak są podane liczby to niewiadomo czy jest to wariancja czy odchylenie standardowe...

Przedstawię swoję rozwiazanie, wygląda na dobre, choć pewności nie mam co do niego. Wyniki oczywiscie sa inne niż u Jovante gdyż on nie przypuszczał że druga liczba oznacza odchylenie standardowe. No albo inne bo ja mam źle; )
No to tak:
a)
X - ciężar jednego jaja
Y - cieżar 20 jaj
\(\displaystyle{ X \sim \mtahcal{N}(\frac{1}{20},\frac{1}{200}) \\
Y \sim \mtahcal{N}(1,\frac{1}{10}) \\
Z=\frac{Y-1}{\frac{1}{10}} => Y=10Z+1 \\
P(Y \leqslant 1,2)=P(10Z+1 \leqslant 1,2)=P(Z \leqslant 0,02)= \Phi(0,02) \approx 0,5}\)


b)
X - ciężar 1 jaja (tym razem w gramach)
Y - różnica ciężarów dwóch jaj
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(50,5) \\
Y \sim \mathcal{N}(0,10) \\
Z=\frac{Y}{10} => Y=10Z \\
P(|Y| qslant 20)=P(|10Z| qslant 20)=P(-2 qslant Z qslant 2)=2 \Phi(2)-1 0,95}\)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Rozkład normalny

Post autor: jovante » 15 wrz 2007, o 19:21

Tak, przyjąłem, że mamy daną wariancję, a nie odchylenie standardowe.


Drizzt skoro przyjąłeś, że podane jest jednak odchylenie standardowe, to jeżeli
\(\displaystyle{ X_i \sim N(\mu, \sigma)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu,\sqrt{n}\sigma)}\), a nie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu,n\sigma)}\)
Drizzt pisze: \(\displaystyle{ Z=\frac{Y-1}{\frac{1}{10}} => Y=10Z+1}\)
oj...

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład normalny

Post autor: Emiel Regis » 15 wrz 2007, o 19:48

Przegiąłem z tym przekształceniem.

Ja już może zostawie ten temat...

ODPOWIEDZ