Matematyka.pl

Informacje przekazuje się za pomocą telegrafu nadającego z równymi prawdopodobieństwami sygnał kropka i kreska. Statystyczne własności zakłóceń są takie, że średnio \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) sygnałów kropka i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) sygnałów kreska zostaje zniekształconych (kropka w kreskę i na odwrót). Obliczyć prawdopodobieństwo, że odebrane sygnały kropka i kreska w rzeczywistości były też nadane odpowiednio jako kropka i kreska.

Wśród wielu osób wyszły różne wyniki, więc prosiłbym o jak najbardziej szczegółową pomoc.

Prawdopodobieństwo całkowite + wzór Bayes'a.

Opis zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) - odebrano sygnał *-
\(\displaystyle{ A/B_{1}}\) - odebrano sygnał *- pod warunkiem, że nadano sygnał *-
\(\displaystyle{ B_{1}}\) - nadano sygnał *-
\(\displaystyle{ A/B_{2}}\) - odebrano sygnał *- pod warunkiem, że nadano sygnał **
\(\displaystyle{ B_{2}}\) - nadano sygnał **
\(\displaystyle{ A/B_{3}}\) - odebrano sygnał *- pod warunkiem, że nadano sygnał -*
\(\displaystyle{ B_{3}}\) - nadano sygnał -*
\(\displaystyle{ A/B_{4}}\) - odebrano sygnał *- pod warunkiem, że nadano sygnał --
\(\displaystyle{ B_{4}}\) - nadano sygnał --

Należy obliczyć kolejno:

\(\displaystyle{ P(A)=...\\
P(B_{1}/A)=...}\)

Mamy prawdopodobieństwo warunkowe - jaka jest szansa, że nadano kropkę, pod warunkiem, że otrzymano kropkę

\(\displaystyle{ W_\bullet}\) - wysłano kropkę
\(\displaystyle{ O_\bullet}\) - otrzymano kropkę
\(\displaystyle{ Z_\bullet}\) - kropka zniekształcona
\(\displaystyle{ N_\bullet}\) - kropka nie zniekształcona

analogiczne oznaczenia dla kreski

\(\displaystyle{ P(W_\bullet|O_\bullet)=\frac{P(W_\bullet\cap O_\bullet)}{P(O_\bullet)}=\frac{P(W_\bullet)\cdot P(N_\bullet)}{P(W_\bullet)\cdot P(N_\bullet)+P(W_-)\cdot P(Z_-)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=\\=\frac{6}{11}}\)

tak samo obliczamy \(\displaystyle{ P(W_-|O_-)}\), szansa zajścia obu zdarzeń jest równa \(\displaystyle{ P(W_\bullet|O_\bullet)\cdot P(W_-|O_-)}\)

Powinno wyjść 10/33?

Tak.