Matematyka.pl

Losujemy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,n\}}\), a następnie rzucamy \(\displaystyle{ k}\) razy monetą. Niech \(\displaystyle{ E_n}\) będzie wartością oczekiwaną liczby wyrzuconych orłów. Czy wtedy
a) \(\displaystyle{ E_{11}>3}\)
b) \(\displaystyle{ E_{8}>2}\)
c) \(\displaystyle{ E_{14}>4}\)
d) \(\displaystyle{ E_{3}>1}\)

Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową oznaczającą wylosowaną liczbę z naszego zbioru. Ze schematu Bernouliego mamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X|Y=k)=\frac{k}{2}\\
\mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)
Ale gwarancji nie daję na to zadanie. Wychodzi na to, że tylko b) jest poprawna.

Odpowiedź się zgadza Ale czy mógłbyś mi te równości bardziej rozpisać, bo zbytnio nie widzę, dlaczego tak jest.

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę k. Teraz mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym. Rzucamy k razy symetryczną monetą. Wartość oczekiwana w tej chwili wynosi: \(\displaystyle{ np=k\cdot\frac{1}{2}}\).
Więc dla wylosowanej liczby \(\displaystyle{ k=1,...,n}\) mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{2}{2},...,\frac{n}{2}}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę k wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Liczymy teraz wartość oczekiwaną czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{2}\cdots+\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{2}}\)
Reszta to wzór na sumę ciągu arytmetycznego.

Dzięki ogromne za pomoc, ale znalazłam malutki błąd.

pyzol pisze: \(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{n+1}{4}}\)

Tak, tak, przepraszam. Literówka, zresztą wtedy nie pasowałaby żadna odpowiedź.