wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: BlueSky » 20 lip 2011, o 20:46

Losujemy liczbę \(\displaystyle{ k}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,n\}}\), a następnie rzucamy \(\displaystyle{ k}\) razy monetą. Niech \(\displaystyle{ E_n}\) będzie wartością oczekiwaną liczby wyrzuconych orłów. Czy wtedy
a) \(\displaystyle{ E_{11}>3}\)
b) \(\displaystyle{ E_{8}>2}\)
c) \(\displaystyle{ E_{14}>4}\)
d) \(\displaystyle{ E_{3}>1}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: pyzol » 20 lip 2011, o 21:43

Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową oznaczającą wylosowaną liczbę z naszego zbioru. Ze schematu Bernouliego mamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X|Y=k)=\frac{k}{2}\\ \mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)
Ale gwarancji nie daję na to zadanie. Wychodzi na to, że tylko b) jest poprawna.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: BlueSky » 20 lip 2011, o 22:18

Odpowiedź się zgadza Ale czy mógłbyś mi te równości bardziej rozpisać, bo zbytnio nie widzę, dlaczego tak jest.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: pyzol » 20 lip 2011, o 22:36

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę k. Teraz mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym. Rzucamy k razy symetryczną monetą. Wartość oczekiwana w tej chwili wynosi: \(\displaystyle{ np=k\cdot\frac{1}{2}}\).
Więc dla wylosowanej liczby \(\displaystyle{ k=1,...,n}\) mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2},\frac{2}{2},...,\frac{n}{2}}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę k wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Liczymy teraz wartość oczekiwaną czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{2}\cdots+\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{2}}\)
Reszta to wzór na sumę ciągu arytmetycznego.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: BlueSky » 21 lip 2011, o 12:57

Dzięki ogromne za pomoc, ale znalazłam malutki błąd.
pyzol pisze: \(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2} \right)=\frac{n-1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E}X=\frac{n+1}{4}}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

wartosc ocz. liczby wyrzuconych orlow

Post autor: pyzol » 21 lip 2011, o 15:38

Tak, tak, przepraszam. Literówka, zresztą wtedy nie pasowałaby żadna odpowiedź.

ODPOWIEDZ