Matematyka.pl

Kod Morsea zbudowany jest ze skończonych ciągów kropek i kresek, które odpowiadają znakom alfanumerycznym. Długością kodu dla ustalonego znaku nazywamy liczbę całkowita równa sumie wag poszczególnych elementów kodu, gdzie kropka ma wagę 1, a kreska ma wagę 2. Wykaż że:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} } ( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} )^{n+1} - \frac{1}{ \sqrt{5} } ( \frac{1- \sqrt{5} }{2} )^{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n N}\)

Ale czym jest \(\displaystyle{ a_{n}}\)?

Nie znając treści, mogę tylko podpowiedzieć, że punktem wyjścia do tego zadania będzie na pewno udowodnienie, że:
\(\displaystyle{ a_{0}=0,a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}}\)
Rozwiązując tę rekurencję, otrzymujemy podany wzór.