Strona 1 z 1
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 5 lut 2008, o 12:00
autor: Finarfin
Mam takie zadanie:
Czy te dwa systemy algebraiczne są izomorficzne:
\(\displaystyle{ A= (Q,+, ) \\
B= (Q, , +)}\)
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 10:55
autor: Qń
Oczywiście nie - gdyby istniał izomorfizm \(\displaystyle{ h}\), to byłoby:
\(\displaystyle{ h(x+y)=h(x) h(y) \\
h(x y) = h(x) +h (y)}\)
Podstawiając w pierwszej równości \(\displaystyle{ y=0}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\), podstawiając w drugiej równości \(\displaystyle{ x=y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1=2}\), czyli sprzeczność.
Q.
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 13:09
autor: Finarfin
Qń, jakoś nie do końca mogę to "zobaczyć". Otóż nie mamy żadnego odwzorowania tych systemów(przynajmniej podanego w treści), co prawda przy dowolnych podstawieniach wychodziło mi, że izomorfizm nie istnieje, to jednak przedstawione rozwiązanie nie jest dla mnie do końca zrozumiałe.
Mógłbyś to bardziej rozpisać? W sensie bardziej łopatologicznym, bo nie do końca to rozumiem.
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 13:24
autor: Qń
Systemy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje izomorfizm między nimi. Założenie o istnieniu takiego izomorfizmu doprowadziło do sprzeczności, zatem ów izomorfizm nie istnieje, czyli systemy nie są izomorficzne. Nie wiem co tu jest niejasnego.
Q.
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 17:34
autor: Finarfin
To rozumiem, chodzi mi o to podstawienie za y=0, że h(0)=1. Tego nie czaję...
Mam nadzieję, że teraz rozumiesz o co dokładnie mi chodzi
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 20:11
autor: Qń
Szczerze mówiąc nie wiem czego nie rozumiesz. Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\)?
Q.
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 11 lut 2008, o 21:23
autor: Finarfin
Qń, no chodziło właśnie o to skąd h(0)=1, jednak poprzyglądałem się dokładnie temu wszystkiemu no i wiem, że to jest punkt konieczny istnienia izomorfizmu. A więc teraz już wszystko jasne, dzięki za pomoc!
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 12 lut 2008, o 13:16
autor: Sir George
Qń pisze:Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że h(0)=1?
Prawdę mówiąc ja też nie rozumiem, dlaczego to tak wprost wynika? Tj. dlaczego opuszczasz tak bezkarnie drugie rozwiązanie, tj.
\(\displaystyle{ h(0)=0}\)?
[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:20 ]
Moim zdaniem lepiej jest podstawić
\(\displaystyle{ x,y=1}\) do drugiego równania, skąd otrzymuje się od razu (jedyne!) rozwiązanie
\(\displaystyle{ h(1)=0}\). wstawiając ponownie
\(\displaystyle{ x,y=1}\) do pierwszego równania dostajemy
\(\displaystyle{ h(2)=h(1)^2=0=h(1)}\) co daje sprzeczność z różnowartościowością izomorfizmu...
[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:24 ]
Aha, chyba rozumiem... otrzymujesz r-nie
\(\displaystyle{ h(x)=h(x)\cdot h(0)}\), które ma być prawdziwe dla wszystkich
\(\displaystyle{ x}\) (które
nota bene nie mogą być wszystkie przeciwobrazem 0). Stąd
\(\displaystyle{ h(0)=1}\)
...
ale i tak myślę, że mój sposób jest prostszy...
Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.
: 12 lut 2008, o 13:35
autor: Qń
Mamy (dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)) \(\displaystyle{ h(x)=h(x) h(0)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest w szczególności bijekcją, to znajdziemy \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ h(x) 0}\) (tak naprawdę, to znajdziemy ich dzikie mnóstwo, bo tylko dla jednej liczby nasz izomorfizm może przyjąć wartość zero), a stąd \(\displaystyle{ h(0)=1}\).
Zarówno powyższej równości, jak nieistnienia rzeczonego izomorfizmu można dowodzić na wiele sposobów (choć wszystkie w jakimś sensie są "wariacją na temat"). Identycznym argumentem jest na przykład taki, że z drugiej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=0}\), a wówczas z pierwszej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), czyli sprzeczność.
Q.