Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: Finarfin » 5 lut 2008, o 12:00

Mam takie zadanie: Czy te dwa systemy algebraiczne są izomorficzne: \(\displaystyle{ A= (Q,+, ) \\ B= (Q, , +)}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: » 11 lut 2008, o 10:55

Oczywiście nie - gdyby istniał izomorfizm \(\displaystyle{ h}\), to byłoby: \(\displaystyle{ h(x+y)=h(x) h(y) \\ h(x y) = h(x) +h (y)}\) Podstawiając w pierwszej równości \(\displaystyle{ y=0}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\), podstawiając w drugiej równości \(\displaystyle{ x=y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1=2}\), czyli sprzeczność. Q.

Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: Finarfin » 11 lut 2008, o 13:09

, jakoś nie do końca mogę to "zobaczyć". Otóż nie mamy żadnego odwzorowania tych systemów(przynajmniej podanego w treści), co prawda przy dowolnych podstawieniach wychodziło mi, że izomorfizm nie istnieje, to jednak przedstawione rozwiązanie nie jest dla mnie do końca zrozumiałe. Mógłbyś to bardziej rozpisać? W sensie bardziej łopatologicznym, bo nie do końca to rozumiem.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: » 11 lut 2008, o 13:24

Systemy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje izomorfizm między nimi. Założenie o istnieniu takiego izomorfizmu doprowadziło do sprzeczności, zatem ów izomorfizm nie istnieje, czyli systemy nie są izomorficzne. Nie wiem co tu jest niejasnego. Q.

Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: Finarfin » 11 lut 2008, o 17:34

To rozumiem, chodzi mi o to podstawienie za y=0, że h(0)=1. Tego nie czaję... Mam nadzieję, że teraz rozumiesz o co dokładnie mi chodzi

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: » 11 lut 2008, o 20:11

Szczerze mówiąc nie wiem czego nie rozumiesz. Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=1}\)? Q.

Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: Finarfin » 11 lut 2008, o 21:23

, no chodziło właśnie o to skąd h(0)=1, jednak poprzyglądałem się dokładnie temu wszystkiemu no i wiem, że to jest punkt konieczny istnienia izomorfizmu. A więc teraz już wszystko jasne, dzięki za pomoc!

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: Sir George » 12 lut 2008, o 13:16

Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że h(0)=1?
Prawdę mówiąc ja też nie rozumiem, dlaczego to tak wprost wynika? Tj. dlaczego opuszczasz tak bezkarnie drugie rozwiązanie, tj. \(\displaystyle{ h(0)=0}\)? [ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:20 ] Moim zdaniem lepiej jest podstawić \(\displaystyle{ x,y=1}\) do drugiego równania, skąd otrzymuje się od razu (jedyne!) rozwiązanie \(\displaystyle{ h(1)=0}\). wstawiając ponownie \(\displaystyle{ x,y=1}\) do pierwszego równania dostajemy \(\displaystyle{ h(2)=h(1)^2=0=h(1)}\) co daje sprzeczność z różnowartościowością izomorfizmu... [ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:24 ] Aha, chyba rozumiem... otrzymujesz r-nie \(\displaystyle{ h(x)=h(x)\cdot h(0)}\), które ma być prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) (które nota bene nie mogą być wszystkie przeciwobrazem 0). Stąd \(\displaystyle{ h(0)=1}\) ...ale i tak myślę, że mój sposób jest prostszy...

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Izomorfizm dwoch systemów algebraicznych.

Post autor: » 12 lut 2008, o 13:35

Mamy (dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)) \(\displaystyle{ h(x)=h(x) h(0)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest w szczególności bijekcją, to znajdziemy \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ h(x) 0}\) (tak naprawdę, to znajdziemy ich dzikie mnóstwo, bo tylko dla jednej liczby nasz izomorfizm może przyjąć wartość zero), a stąd \(\displaystyle{ h(0)=1}\). Zarówno powyższej równości, jak nieistnienia rzeczonego izomorfizmu można dowodzić na wiele sposobów (choć wszystkie w jakimś sensie są "wariacją na temat"). Identycznym argumentem jest na przykład taki, że z drugiej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(0)=0}\), a wówczas z pierwszej równości wynika, że \(\displaystyle{ h(x)=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), czyli sprzeczność. Q.

ODPOWIEDZ