Matematyka.pl

Na egzamin przyszło 150 studentów i będą go pisac w pięciu różnych salach. Egzaminator chce, aby studenci podzielili się tak, aby w każdej sali pisała choc jedna osoba. Ile jest mozliwych sposobów spełnienia tego warunku, uwzględniając numeraje sal? A gdy numery sal nie sa wazne ?

Można np. z zasady włączeń i wyłączeń.

Zakładam, że studenci są nierozróżnialni. Mamy pięć sal - w każdej na początek jeden student. Zostaje 145 studentów nierozróżnialnych do podziału na 5 rozróżnialnych sal. Wobec tego:
\(\displaystyle{ {145+5-1 \choose 145}}\)

Gdyby sale były nierozróżnialne jak i studenci to trzeba zrobić podział liczby 150 na dokładnie pięć czynników.

Gry numery sal nie są istotne, wystarczy wynik z pierwszego pytania podzielić przez \(\displaystyle{ 5!}\) czyli ilość permutacji danego podziału pomiędzy sale egzaminacyjne.

Mylisz się. Weźmy podział \(\displaystyle{ 145 = 40 + 40 + 40 + 20 + 5}\). I taki rozkład permutuje \(\displaystyle{ 20}\) razy a nie \(\displaystyle{ 5!}\).

Zwracam honor. Faktycznie sprawę to trochę komplikuje, niemniej sprawia zadanie ciekawszym.