Rozkład Poissona
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{P}(\lambda)}\)
\(\displaystyle{ \lambda > 0}\)
I Podstawowe informacje
1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \ \ \ k \in \mathbb{N}_0}\)
2. Dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{k \leqslant x} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \ \ \ k \in \mathbb{N}_0}\)
3. Wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=\lambda}\)
Dowód:
4. Wariancja
\(\displaystyle{ Var(X)=\lambda}\)
Dowód:
5. Funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \exp \left \{ \lambda(e^{it}-1) \right \}}\)
Dowód:
II Uwagi
1. Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla ciągu odpowiednich rozkładów dwumianowych
\(\displaystyle{ Z: X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n) \ \ \ \wedge \ \ \ X \sim \mathcal{P}(\lambda) \\ \\
T: n \to \infty, \ p_n \to 0, \ np_n \to \lambda \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ X_n \stackrel{d}{\longrightarrow} X}\)
Dowód:
2. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona
Więcej można przeczytać tutaj:
Zależności między rozkładami