Rozkład normalny

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład normalny

Post autor: Emiel Regis » 28 lip 2008, o 19:51

Rozkład normalny

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)}\)

\(\displaystyle{ m \in \mathbb{R} \hbox{ - parametr po\l o\.{z}enia}}\)

\(\displaystyle{ \sigma^2 > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)

I Podstawowe informacje


1. Gęstość prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \ \exp \left \{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2} \right \}}\)


2. Dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du}\)


3. Wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ EX=m}\)
Dowód:    

4. Wariancja

\(\displaystyle{ Var(X)=\sigma^2}\)
Dowód:    

5. Funkcja charakterystyczna

\(\displaystyle{ \varphi(t)= \exp \left \{ imt - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right \}}\)
Dowód:    

\(\displaystyle{ \hline}\)

II Uwagi


1. Rozkład normalny jest jednym z najczęściej spotykanych rozkładów - ma to miejsce głównie za sprawą centralnych twierdzeń granicznych, które mówią, że ustandaryzowana suma odpowiednio regularnych zmiennych losowych zbiega do rozkładu normalnego. Więcej można przeczytać o tym w osobnym artykule:
Centralne twierdzenia graniczne

2. Funkcja Gaussa

\(\displaystyle{ f(x) = \exp \left \{-\frac{(x-b)^2}{a^2} \right \}}\)

Jedną z jej najistotniejszych (najbardziej uciążliwych) własności jest to że całka nieoznaczona z niej jest nieelementarna. W praktyce oznacza to, że poza szczególnym przypadkiem, w którym \(\displaystyle{ c=-\infty}\) oraz \(\displaystyle{ d = +\infty}\) nie jesteśmy w stanie policzyć analitycznie wartości:

\(\displaystyle{ \int_c^d \exp \left \{-\frac{(x-b)^2}{a^2} \right \} dx}\)

Przez co do jej policzenia wykorzystuje się metody numeryczne.


3. Standardowy rozkład normalny

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)}\)

\(\displaystyle{ T: Y = \frac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)}\)

O zmiennej Y mówimy, że ma standardowy rozkład normalny. Widzimy więc, że każdą zmienną normalną da się ustandaryzować. W związku z tym oraz uwagą drugą w celu sprawnego liczenia prawdopodobieństwa dla zmiennych o rozkładzie normalnym autorzy książek zamieszczają tablice wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.


4. Całka Gaussa

Całka Gaussa jest to całka oznaczona z funkcji Gaussa po całej osi liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} \exp \left \{-\frac{(x-b)^2}{a^2} \right \}dx = \sqrt{\pi a^2}}\)

Dzięki takiemu przedziałowi całkowania jesteśmy w stanie policzyć ją analitycznie.
Dowód:    

5. Kombinacja liniowa zmiennych o łącznym rozkładzie normalnym ma rozkład normalny

W szczególności:

\(\displaystyle{ Z: (X, Y) \sim \mathcal{N}_2}\)

\(\displaystyle{ T: X+Y \sim \mathcal{N} (EX+EY, Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y))}\)


6. Funkcja liniowa zmiennej normalnej

\(\displaystyle{ Z: X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2) \ \ \wedge \ \ a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \ \ \wedge \ \ b \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ T: aX+b \sim \mathcal{N}(am + b, a^2 \sigma^2)}\)


\(\displaystyle{ \hline}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ