szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lut 2008, o 02:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
Wstęp




Centralne twierdzenia graniczne mówią nam w ogólności o tym, że [niektóre] odpowiednio ustandaryzowane sumy zmiennych losowych zbiegają wg rozkładu do zmiennej o standardowym rozkładzie normalnym. W zależności od tego ile wiemy o danym ciągu zmiennych losowych to możemy [bądź nie] zastosować jedno z nich.

Gdy X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2) to aby ustandaryzować zmienną X należy od niej odjąć wartość oczekiwaną oraz całość podzielić przez odchylenie standardowe. Czyli:

Y=\frac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)

Taka sama idea jest przy standaryzowaniu sum zmiennych losowych, wtedy całą sumę się traktuje jako jedną zmienną losową.



\hline



Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego



Założenia:

X_1, X_2, ...  \hbox{ - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie}\\ \\
EX_1=m \\ \\ 
Var(X_1)= \sigma^2 < \infty

Teza:

\frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var({ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i})}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-nm}{ \sqrt{n \sigma^2}}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)



\hline



Twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a



Jest to szczególny przypadek powyższego twierdzenia gdy zmienne losowe mają rozkłady zero-jedynkowe.

Założenia:

X_n \sim B(n,p)

Teza:

\frac{X_n - np}{ \sqrt{np(1-p)}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)

Może ktoś spytać gdzie tutaj suma zmiennych losowych, otóż zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym daje się rozpisać jako suma zmiennych o rozkładach zero-jedynkowych.

X_n \stackrel{d}{=} \sum_{i=1}^n Y_i \\ \\
P(Y_i=1)=p \\ \\
P(Y_i=0)=1-p\\ \\
\hbox{oraz } Y_1, \ldots, Y_n \hbox{ - niezależne.}



\hline



Twierdzenie Lapunowa



Założenia:

X_1, X_2, ... \hbox{ - niezależne zmienne losowe}\\ \\
EX_i=m_i \\ \\
Var (X_i)= \sigma_i^2 \\ \\
E|X_i-m_i|^3 = \beta_i < \infty \\ \\
\left[ \sum_{i=1}^n \beta_i \right]^{ \frac{1}{3}} = o \left[ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^{ \frac{1}{2}}

Teza:

\frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var({ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i})}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}m_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n} \sigma_i^2}}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)



\hline



Twierdzenie Lindeberga



Jako jedno z ogólniejszych twierdzeń granicznych przedstawię jeszcze twierdzenie Lindeberga, uogólnia ono twierdzenie Lindeberga - Levy'ego na zmienne losowe o różnych rozkładach, jednak ceną za ogólność jest nieprzyjemny do sprawdzania warunek Lindeberga.

Założenia:

X_1, X_2, \ldots \hbox{ - niezależne zmienne losowe}

EX_i=m_i

Var(X_i) = \sigma_i^2

C_n = \left [ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^ \frac{1}{2}

A= \{ \omega: |X_i-m_i| \geqslant \varepsilon \cdot C_n \}

\bigwedge_{ \varepsilon >0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{C_n^2} \sum_{i=1}^n} \int_A (X_i -m_i)^2 dP =0 - warunek Lindeberga

Teza:

\frac{ \sum \limits_{i=1}^n(X_i-m_i)}{C_n} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)



\hline
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenia Cantora-Bendixona  Peter Zof  1
 Granica funkcji z twierdzenia de l`Hospitala  asia6153  5
 Dowodzenie twierdzenia bądź własności  Okarin  2
 dowód twierdzenia - zadanie 21  tukanik  7
 całka z twierdzenia Greena  szklanka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl