Matematyka.pl

Poniższe wzory służą do wyznaczenia minimalnej liczby pomiarów w celu oszacowania wartości średniej lub proporcji z ustalonym maksymalnym błędem oraz zadanym poziomie ufności. Obliczone wartości zawsze zaokrąglamy w górę.


Model dla wartości średniej o znanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\)
\(\displaystyle{ \sigma}\) - odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{d} \right)^2 }}\)

Przykład Model dla wartości średniej o nieznanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\)
\(\displaystyle{ n_0}\) - rozmiar próby wstępnej
\(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe oszacowane z próby wstępnej
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{d} \right)^2 }}\)

Przykład Model dla proporcji o znanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\)
\(\displaystyle{ p_0}\) - znany szacunkowy procent
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego]tablicy rozkładu normalnego[/url]
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{p_0 (1-p_0)}{d^2}}}\)

Przykład Model dla proporcji o nieznanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\)
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z [url=http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego]tablicy rozkładu normalnego[/url]
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{4d^2}}}\)

Przykład