Minimalna liczebność próbki

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Minimalna liczebność próbki

Post autor: scyth » 5 lip 2011, o 14:03

Poniższe wzory służą do wyznaczenia minimalnej liczby pomiarów w celu oszacowania wartości średniej lub proporcji z ustalonym maksymalnym błędem oraz zadanym poziomie ufności. Obliczone wartości zawsze zaokrąglamy w górę.


Model dla wartości średniej o znanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\)
\(\displaystyle{ \sigma}\) - odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z tablicy rozkładu normalnego
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{d} \right)^2 }}\)

Przykład
Ukryta treść:    
Model dla wartości średniej o nieznanym odchyleniu standardowym
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny: \(\displaystyle{ X \sim N( \mu, \sigma )}\)
\(\displaystyle{ n_0}\) - rozmiar próby wstępnej
\(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe oszacowane z próby wstępnej
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z tablicy rozkładu t-Studenta
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge \left( t^{n_0 - 1}_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{d} \right)^2 }}\)

Przykład
Ukryta treść:    
Model dla proporcji o znanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\)
\(\displaystyle{ p_0}\) - znany szacunkowy procent
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z tablicy rozkładu normalnego
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{p_0 (1-p_0)}{d^2}}}\)

Przykład
Ukryta treść:    
Model dla proporcji o nieznanym szacunkowym odsetku
Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy, \(\displaystyle{ P(X=1)=p}\)
\(\displaystyle{ d}\) - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru
\(\displaystyle{ \alpha}\) - poziom istotności
\(\displaystyle{ z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\) - wartość krytyczna odczytana z tablicy rozkładu normalnego
Wówczas:
\(\displaystyle{ \boxed{n \ge z^2_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{4d^2}}}\)

Przykład
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ