Matematyka.pl

Znaleźć równanie stycznej do paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y^2 - x = 0}\) przechodzącej przez punkt
\(\displaystyle{ A(1; 1)}\)

nasza parabola to zbiór : \(\displaystyle{ \left\{ (t^2,t)\in \RR^2 : t \in \RR\right\}}\). już widać jaki będzie wektor styczny w dowolnym jej punkcie??

karolex123 pisze:nasza parabola to zbiór : \(\displaystyle{ \left\{ (t^2,t)\in \RR^2 : t \in \RR\right\}}\). już widać jaki będzie wektor styczny w dowolnym jej punkcie??

Można troszkę jaśniej? Przepraszam ale znaczki do mnie nie przemawiaja, przepraszam

A umiesz zrobić styczną do \(\displaystyle{ y= \sqrt{x}}\) w podanym punkcie, bo wyjdzie na to samo.

No, nasz zbiór jest wykresem funkcji : \(\displaystyle{ x=y^2}\), a więc zbiorem punktów postaci \(\displaystyle{ (y^2,y)}\), prawda? wektor styczny w takim punkcie to \(\displaystyle{ (2y,1)}\)

Wyobraż sobie, że poruszasz się wzdłuż krzywej. a Twoje położenie w chwili \(\displaystyle{ t}\) jest dane wzorem \(\displaystyle{ (x(t),y(t)}\). Znasz jakiś wektor, który będzie styczny do Twojej drogi?

Parabola \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) jest podzbiorem płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{P} = \{ (x,y)\in \RR^2: y^2 - x = 0 \}.}\)

Gradient do tej krzywej jest wektorem:

\(\displaystyle{ grad(\mathcal{P})= grad( y^2 - x) = [-1, \ \ 2y ]}\)

i nie zeruje się w żadnym punkcie zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P}.}\)

Wobec tego prosta styczna do zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) w punkcie \(\displaystyle{ A(1, 1),}\) to prosta prostopadła do wektora \(\displaystyle{ \vec{v} = [ -1, 2\cdot 1] = [ -1, 2 ]}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A(1,1).}\)

\(\displaystyle{ -1\cdot ( x -1) + 2(y-1) = 0, \ \ -x +1 +2y -2 = 0, \ \ -x +2y -1 = 0, \ \ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.}\)

janusz47 pisze:Parabola \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) jest podzbiorem płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{P} = \{ (x,y)\in \RR^2: y^2 - x = 0 \}.}\)

Gradient

\(\displaystyle{ grad( y^2 - x) = [-1, \ \ 2y ]}\)

nie zeruje się w żadnym punkcie zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P}.}\)

Wobec tego prosta styczna do zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) w punkcie \(\displaystyle{ A(1, 1),}\) to prosta prostopadła do wektora \(\displaystyle{ \vec{v} = [ -1, 2\cdot 1] = [ -1, 2 ]}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A(1,1).}\)

\(\displaystyle{ -1\cdot ( x -1) + 2(y-1) = 0, \ \ -x +1 +2y -2 = 0, \ \ -x +2y -1 = 0, \ \ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.}\)

A ja szukałem w tym zadaniu haczyków.. wielkie dzięki

felek321, można było nie szukać haczyków, tylko rozwiązywać zadanie zgodnie ze wskazówkami..
gotowiec nie daje tyle, co samodzielne rozwiązanie zadania, ale to tylko moje skromne zdanie..

karolex123 pisze:felek321, można było nie szukać haczyków, tylko rozwiązywać zadanie zgodnie ze wskazówkami..
gotowiec nie daje tyle, co samodzielne rozwiązanie zadania, ale to tylko moje skromne zdanie..

Bardzo możliwe aczkolwiek u mnie jest tak ze zawsze brakuje mi jakoś pomysłu albo się gubię dopiero jak zobacze jak to ma iść to już wiem sam dlatego prosilem o pomoc