Równanie stycznej do paraboli

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
felek321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 1 lut 2019, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie stycznej do paraboli

Post autor: felek321 » 2 lut 2019, o 16:16

Znaleźć równanie stycznej do paraboli o równaniu \(y^2 - x = 0\) przechodzącej przez punkt
\(A(1; 1)\)

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: karolex123 » 2 lut 2019, o 16:19

nasza parabola to zbiór : \(\left\{ (t^2,t)\in \RR^2 : t \in \RR\right\}\). już widać jaki będzie wektor styczny w dowolnym jej punkcie??

felek321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 1 lut 2019, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: felek321 » 2 lut 2019, o 16:21

karolex123 pisze:nasza parabola to zbiór : \(\left\{ (t^2,t)\in \RR^2 : t \in \RR\right\}\). już widać jaki będzie wektor styczny w dowolnym jej punkcie??
Można troszkę jaśniej? Przepraszam ale znaczki do mnie nie przemawiaja, przepraszam

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: Janusz Tracz » 2 lut 2019, o 16:30

A umiesz zrobić styczną do \(y= \sqrt{x}\) w podanym punkcie, bo wyjdzie na to samo.

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: karolex123 » 2 lut 2019, o 16:31

No, nasz zbiór jest wykresem funkcji : \(x=y^2\), a więc zbiorem punktów postaci \((y^2,y)\), prawda? wektor styczny w takim punkcie to \((2y,1)\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: a4karo » 2 lut 2019, o 16:33

Wyobraż sobie, że poruszasz się wzdłuż krzywej. a Twoje położenie w chwili \(t\) jest dane wzorem \((x(t),y(t)\). Znasz jakiś wektor, który będzie styczny do Twojej drogi?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4963
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie stycznej do paraboli

Post autor: janusz47 » 3 lut 2019, o 13:45

Parabola \(\mathcal{P}\) jest podzbiorem płaszczyzny \(\RR^2\)

\(\mathcal{P} = \{ (x,y)\in \RR^2: y^2 - x = 0 \}.\)

Gradient do tej krzywej jest wektorem:

\(grad(\mathcal{P})= grad( y^2 - x) = [-1, \ \ 2y ]\)

i nie zeruje się w żadnym punkcie zbioru \(\mathcal{P}.\)

Wobec tego prosta styczna do zbioru \(\mathcal{P}\) w punkcie \(A(1, 1),\) to prosta prostopadła do wektora \(\vec{v} = [ -1, 2\cdot 1] = [ -1, 2 ]\) i przechodząca przez punkt \(A(1,1).\)

\(-1\cdot ( x -1) + 2(y-1) = 0, \ \ -x +1 +2y -2 = 0, \ \ -x +2y -1 = 0, \ \ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.\)
Ostatnio zmieniony 3 lut 2019, o 15:39 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.

felek321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 1 lut 2019, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie stycznej do paraboli

Post autor: felek321 » 3 lut 2019, o 15:38

janusz47 pisze:Parabola \(\mathcal{P}\) jest podzbiorem płaszczyzny \(\RR^2\)

\(\mathcal{P} = \{ (x,y)\in \RR^2: y^2 - x = 0 \}.\)

Gradient

\(grad( y^2 - x) = [-1, \ \ 2y ]\)

nie zeruje się w żadnym punkcie zbioru \(\mathcal{P}.\)

Wobec tego prosta styczna do zbioru \(\mathcal{P}\) w punkcie \(A(1, 1),\) to prosta prostopadła do wektora \(\vec{v} = [ -1, 2\cdot 1] = [ -1, 2 ]\) i przechodząca przez punkt \(A(1,1).\)

\(-1\cdot ( x -1) + 2(y-1) = 0, \ \ -x +1 +2y -2 = 0, \ \ -x +2y -1 = 0, \ \ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.\)
A ja szukałem w tym zadaniu haczyków.. wielkie dzięki

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: karolex123 » 3 lut 2019, o 16:02

felek321, można było nie szukać haczyków, tylko rozwiązywać zadanie zgodnie ze wskazówkami..
gotowiec nie daje tyle, co samodzielne rozwiązanie zadania, ale to tylko moje skromne zdanie..

felek321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 1 lut 2019, o 10:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie stycznej do paraboli

Post autor: felek321 » 3 lut 2019, o 16:14

karolex123 pisze:felek321, można było nie szukać haczyków, tylko rozwiązywać zadanie zgodnie ze wskazówkami..
gotowiec nie daje tyle, co samodzielne rozwiązanie zadania, ale to tylko moje skromne zdanie..
Bardzo możliwe aczkolwiek u mnie jest tak ze zawsze brakuje mi jakoś pomysłu albo się gubię dopiero jak zobacze jak to ma iść to już wiem sam dlatego prosilem o pomoc

ODPOWIEDZ