Matematyka.pl

Treść zadania: Obliczyć iloczyn wektorowy i skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,5]}\) ; \(\displaystyle{ \vec{v}=[0,5,2]}\) i zbadac czy te wektory sa prostopadle. Oblicz sinus kąta miedzy tymi wektorami. (chcialbym jeszcze zapytać jak sie sprawdza czy wektory sa równoległe?)

Z góry dziekuje i pozdrawiam.

iloczyn wektorowy:

\(\displaystyle{ \vec {a} = [a_{x},a_{y},a_{z}]}\)
\(\displaystyle{ \vec {b} = [b_{x},b_{y},b_{z}]}\)

\(\displaystyle{ a b = [a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}]}\)

wystarczy podstawić

równoleglosc:

\(\displaystyle{ \vec {u} = [a.b.c]}\)
\(\displaystyle{ \vec {w} = [d,e,f]}\)

\(\displaystyle{ \vec {u} || \vec {w} \frac{d}{a}=\frac{e}{b}=\frac{f}{c}}\)

Równoległość:
\(\displaystyle{ \vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \vec{v}}\)

Prostopadłość:
\(\displaystyle{ \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \circ \vec{v}=0}\)

Sinus kąta miedzy wektorami:
\(\displaystyle{ \vec{w} = \vec{u} \vec{v}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{w}| = |\vec{u}| |\vec{v}| sin \angle(\vec{u},\vec{v})}\)
Skąd już łatwo wyliczyć sinusa.

rownoległość można również wyliczyc obliczajac wyznacznik dla macierzy skladajacej sie z tych 2 wektorow, wyznacznik musi byc rowny 0

A jak wylicza się iloczyn skalarny ww wektorów
Ps Wiem że odgrzewam, ale nie będę śmiecił nowy tematem.

skalarny:

\(\displaystyle{ \vec{u} o \vec{v} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 20}\)

@pandyskoteka
Nie wiem jak zamierzasz obliczyć wyznacznik macierzy prostokątnej, bo mi sie wydaje, że można to zrobić tylko dla macierzy kwadratowej, ale twoja sprawa.

[edit]: sry za odkopywanie starego tematu

KargaS pisze:@pandyskoteka
Nie wiem jak zamierzasz obliczyć wyznacznik macierzy prostokątnej, bo mi sie wydaje, że można to zrobić tylko dla macierzy kwadratowej, ale twoja sprawa.

[edit]: sry za odkopywanie starego tematu

Liczymy wyznacznik macierzy uzupełnionej do kwadratowej.
Dla wielu jest to tak oczywiste w tym temacie, że nie wspominają o uzupełnieniu.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}}\)

Piotrek89 pisze:iloczyn wektorowy:

\(\displaystyle{ \vec {a} = [a_{x},a_{y},a_{z}]}\)
\(\displaystyle{ \vec {b} = [b_{x},b_{y},b_{z}]}\)

\(\displaystyle{ a \times b = [a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}]}\)
]

Z tego co mi się wydaje zapominasz o bardzo znaczącej rzeczy, a mianowicie pominąłeś minus przed:

\(\displaystyle{ -|a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}|}\)

Podpinam się do tego tematu z prośbą o wyjaśnienie. Mianowicie chodzi o wzory na iloczyn skalarny i wektorowy. Dlaczego są w nich odpowiednio cosinus i sinus kąta między wektorami. Nie mogę znaleźć nigdzie w miarę prostego wyprowadzenia.