Matematyka.pl

Wyznacz odległość między prostymi \(\displaystyle{ l: \begin{cases}x=1+2t \\ y=10-3t \\ z=3+4t \end{cases}
k: \begin{cases} x=1+3s \\ y=1-2s \\ z=1+3s \end{cases} t,s \in R}\)



Mam wrażenie, że to nie trudne zadanie ale przez te parametry zupełnie nic wiem od czego zacząć.

Możesz np. z iloczynu skalarnego puścić prostą prostopadła przechodzącą przez jedną z prostych i poszukać punktu wspólnego z drugą. Następnie odległość między punktami.

Albo iloczynem wektorowym wyznaczyć wektor prostopadły do obu i poszukać wspólnego punktu z drugą prostą.

Gdy proste się przecinają, to odległość miedzy nimi jest równa \(\displaystyle{ 0}\) . Gdy są równoległe, to sposób przedstawiony w poprzednim poście jest wystarczający. Gdy natomiast są skośne (wichrowate), to trzeba na jednej z nich znaleźć taki punkt, którego odległość od drugiej jest najmniejsza.
Najpierw trzeba rozpatrzyć, które z możliwych wzajemnych położeń prostej zachodzi.
Wystarczy wyprowadzić wzor na odległość punktow dwóch prostych (będzie to funkcja dwóch zmiennych, \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ s}\)) i wyznaczyć jego minimum.