Matematyka.pl

Dane są punkty \(\displaystyle{ M=(-1, 3) N=(2,5)}\). Na osi \(\displaystyle{ Ox}\) znajdź taki punkt \(\displaystyle{ A}\), aby suma jego odległości od danych punktów była najminejsza?

1.Znajdź równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty,bo im bliżej odcinka,tym lepiej
(\(\displaystyle{ AB+BC \ge AC}\) Punkty \(\displaystyle{ A}\)i \(\displaystyle{ C}\) mamy. Zostaje znaleźć punkt \(\displaystyle{ B}\) ,który w nierówności trójkąta daje równość,bo mniejszy nie będzie. A następnie znajdź przecięcie tej prostej z osią \(\displaystyle{ x}\)

Jakoś nie mogę tego zrozumieć. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć to trochę mniej skrótowo.

1.Zaznacz na układzie współrzędnych te punkty.
2. Zauważ,że najkrótszą drogą pomiędzy tymi punktami jest odcinek je łączący ,który należy do jakiejś prostej.
3.Znajdź jej równanie i miejsce zerowe.

Wyznacz punkt \(\displaystyle{ N'}\) symetryczny do \(\displaystyle{ N}\) względem osi \(\displaystyle{ OX}\). Szukany punkt \(\displaystyle{ A}\) jest punktem, w którym prosta \(\displaystyle{ MN'}\) przecina oś \(\displaystyle{ OX}\).

Dowód tego rozumowania jest znany i dość łatwy: biorąc dowolny punkt \(\displaystyle{ B\ne A}\) na osi \(\displaystyle{ OX}\) należy zauważyć, że \(\displaystyle{ |BN|=|BN'|}\) (wobec określenia punktu \(\displaystyle{ N'}\)) oraz na podstawie nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ |MB|+|BN|=|MB|+|BN'|>|MN'|}\), gdyż punkty \(\displaystyle{ B,M,N'}\) nie są współliniowe.