Matematyka.pl

Sprawdź czy istnieją takie liczby p i r że spełniona jest równość \(\displaystyle{ \vec{x} = p \vec{u} + r \vec{v}}\)

\(\displaystyle{ \vec{u} =[3;-6], \vec{v}=[-4;2], \vec{x}= [8;-13]}\)

Istnieją, gdyż wektory \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v}}\) nie są równoległe, a co za tym idzie, każdy inny wektor można osiągnąć poruszając się w dwóch kierunkach wyznaczonych przez te dwa wektory. O to chodzi w pojęciu liniowej niezależności wektorów. Nic innego jak rozwiązać odpowiedni układ równań. Będzie miał jednoznaczne rozwiązanie. Mówimy, że wektor \(\displaystyle{ \vac{x}}\) przedstawia się jako kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v}}\).

a jak ten układ miałby wyglądać ?

przypomnij sobie jak się dodaje i mnoży wektory

podstawić za wektory i otrzymam
\(\displaystyle{ \vec{x} = -3p-2r}\) ?

źle,
\(\displaystyle{ [8,-13]= p [3,-6]+r [-4,2]}\)
\(\displaystyle{ [8,-13]= [3p,-6p]+ [-4r, 2r]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 8= 3p-4r \\ -13=-6p+2r \end{cases}}\)