Matematyka.pl

Mam wyznaczyć styczną do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2-8x-4=5}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P=(0;5)}\)

Wyznaczam środek i promień \(\displaystyle{ S=(4;2) r=5}\)

Równianie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0;5)}\) ma postać \(\displaystyle{ y=ax+5}\)

Teraz wiem że odległość środka od prostej powinna być równa r ale nie wiem dlaczego kiedy próbuje wyznaczyć wychodzą mi dziwne wartości czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak obliczyć odległość punkt S od prostej stycznej czyli jak obliczyć a??

Przede wszystkim to środek okręgu jest źle wyznaczony:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-8x-4=5}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-8x+16+y^{2}-16-4=5}\)
\(\displaystyle{ (x-4)^{2}+y^{2}=5^{2}}\)
czyli środkiem okręgu jest \(\displaystyle{ S=(4,0)}\)

Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\):
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)

Masz równanie \(\displaystyle{ ax-y+5=0}\). Podstawiasz do wzoru na odległość współczynniki z tego równania oraz współrzędne punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\) i otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{|4a-1 \cdot 0+5|}{\sqrt{a^{2}+1}}=5}\)
\(\displaystyle{ |4a+5|=5\sqrt{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(4a+5)^{2}}=5\sqrt{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ (4a+5)^{2}=25(a^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ a=0 \vee a=\frac{40}{5}}\)

Zły środek wynika z tego że źle przepisałem za 4 powinien być y ale wielkie dzięki za pomoc już wiem co robiłem źle i teraz dam rade