Wyznacz C
: 6 gru 2008, o 21:14
Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(4,0), B=(6,2)}\). Na prostej \(\displaystyle{ l}\) o równaniu \(\displaystyle{ x-y =0}\) wyznacz punkt C tak, by trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) miał najmniejszy obwód.
Oznaczmy szukany punkt C = (x,x).
Widać, że |AB| tak czy siak, będzie należeć do odwodu więc napiszmy funkcję F(x), która dla danego x wyznacza |AC|+|BC|
wzór tej funkcji to oczywiście
\(\displaystyle{ F(x) = \sqrt{(x-4)^{2}+x^{2}} + \sqrt{(x-6)^2+(x-2)^{2}} = \sqrt{x^{2}-8x+16+x^{2}} + \sqrt{x^{2}-12x+36+x^{2}-4x+4} = \sqrt{2x^{2}-8x+16} + \sqrt{2x^{2}-16x+40}\)
Teraz liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ F'(x) = \frac{4x-8}{2*\sqrt{2x^{2}-8x+16}} + \frac{4x-16}{2*\sqrt{2x^{2}-16x+40}}}\)
I miejsce zerowe pochodnej.
Pozwolisz, że podam od razu wynik, bo nie chce mi się wszystkich obliczeń przepisywać x=3.
Czyli szukany punkt to (3,3).