Wyznacz C

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
natasza99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 22 maja 2008, o 14:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: jelcz
Podziękował: 1 raz

Wyznacz C

Post autor: natasza99 » 6 gru 2008, o 21:14

Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(4,0), B=(6,2)}\). Na prostej \(\displaystyle{ l}\) o równaniu \(\displaystyle{ x-y =0}\) wyznacz punkt C tak, by trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) miał najmniejszy obwód.

Goter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 85 razy

Wyznacz C

Post autor: Goter » 6 gru 2008, o 23:05

Oznaczmy szukany punkt C = (x,x).

Widać, że |AB| tak czy siak, będzie należeć do odwodu więc napiszmy funkcję F(x), która dla danego x wyznacza |AC|+|BC|

wzór tej funkcji to oczywiście

\(\displaystyle{ F(x) = \sqrt{(x-4)^{2}+x^{2}} + \sqrt{(x-6)^2+(x-2)^{2}} = \sqrt{x^{2}-8x+16+x^{2}} + \sqrt{x^{2}-12x+36+x^{2}-4x+4} = \sqrt{2x^{2}-8x+16} + \sqrt{2x^{2}-16x+40}\)

Teraz liczymy pochodną:

\(\displaystyle{ F'(x) = \frac{4x-8}{2*\sqrt{2x^{2}-8x+16}} + \frac{4x-16}{2*\sqrt{2x^{2}-16x+40}}}\)

I miejsce zerowe pochodnej.

Pozwolisz, że podam od razu wynik, bo nie chce mi się wszystkich obliczeń przepisywać x=3.

Czyli szukany punkt to (3,3).

natasza99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 22 maja 2008, o 14:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: jelcz
Podziękował: 1 raz

Wyznacz C

Post autor: natasza99 » 7 gru 2008, o 09:47

Myślę,że sobie poradzę:)

ODPOWIEDZ