Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) bedzie czworokatem takim ze \(\displaystyle{ \angle ABC = \angle ADC = 90^o}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BCD > 90^o}\). Niech P będziewewnatrz \(\displaystyle{ ABCD}\) tak ze \(\displaystyle{ BCDP}\) jest równoległobokiem, oraz AP przecina BC w punkcie M. Wyznacz AM, jeśli \(\displaystyle{ BM = 2, MC = 5, CD = 3.}\)

Dzieki a jak policzyc ten odcinek?

Nie trzeba liczyć.
Odpowiem na pytanie tak: PATRZ!
Prośba.
Jak Kolega to zobaczy proszę dać znać.

No widzę że to przeciwprpstokatna i średnica ale nie wiem ile ona wynosi

Promień tego okręgu to krótszy bok równoległoboku, a ten ma miarę zadaną w zadaniu.

A skąd wiedziłes o tym okręgu?

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Ale mi chodzi o to skąd ten okrąg wogóle sie pojawił na tym rysunku?

Z prostego faktu. Kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) jest proosty, tak wynika z treści zadania. Zatem \(\displaystyle{ AM}\) jest przeciwprostokątną trójkąta a zatem na tym trójkącie można opisać taki okrąg co ma tę właściwość, że przeciwprostokątna jest jego średnicą. Zatem \(\displaystyle{ |AM|}\) ma miarę podwojonego promienia, a ten ma miarę jednego z boków, boku \(\displaystyle{ |CD|}\), równoległoboku \(\displaystyle{ PBCD}\).
Watro pamiętać o tym twierdzeniu ilekroć spotykamy sier z trójkątem prostokątnym, Może okazać się bardzo przydatnym.

To, że środkiem ww. okręgu musi być punkt \(\displaystyle{ P}\) wynika z podobieństwa trójkącików, na jakie dzielą \(\displaystyle{ \Delta ABM}\) symetralne jego przyprostokątnych.

dziekuje