Matematyka.pl

Na płaszczyznie zaznaczono n punktów ,z których dowolne trzy nie są współliniowe.Wyznacz n,wiedząc,że liczba wszystkich odcinków łączących te punkty wynosi 28.
Prosiłbym o objaśnienie ja doszliście do równania.
Z góry dzięki :):)

Rozumiem że każdy z n punktów łaczy się z n-1 punktami. Zastanów się jak będzie wyglądał wzór na wszystkie krawędzie i przyrównaj do 28

Dla bardziej zaawansowanych pojęcie grafu pełnego będzie bardzo pomocne

\(\displaystyle{ n*(n-1)=28}\)??

Musisz jeszcze podzielić przez dwa (bo każdy odcinek liczysz podwójnie). Konkretniej to chodzi o to, że każde dwa punkty wyznaczają jednoznacznie prostą, a tym samym odcinek na tej prostej łączący te punkty. Wykorzystujemy tutaj wiedzę, że żadne trzy punkty nie są współliniowe. Zatem liczba odcinków utworzonych przez te punkty, to liczba różnych par punktów. A tych jest:
\(\displaystyle{ {n \choose 2} = \frac{(n-1)n}{2}}\)

niekminie,za głupi jestem na to

W sumie Inkwizytor już wyjaśnił, więc pewnie niepotrzebnie mieszam w głowie W moim wytłumaczeniu chodzi o to, że musimy policzyć, ile różnych prostych wyznaczają te punkty. Jak już pisałem, do wyznaczenia prostej potrzebne są co najmniej dwa punkty. W treści mamy podane, że żadne trzy punkty nie są współliniowe, zatem nie będzie sytuacji, że trzy punkty wyznaczają tę samą prostą. Zatem teraz pozostaje nam policzyć, na ile sposobów możemy wybrać dwa punkty z \(\displaystyle{ n}\), przy czym kolejność punktów nie ma znaczenia. Gdy już wyliczymy liczbę prostych, to tym samym obliczymy liczbę odcinków łączących te punkty. Wybór dwóch punktów z \(\displaystyle{ n}\), to kombinacja bez powtórzeń. A to się liczy przy użyciu symbolu Newtona.

właśnie chcialem uniknac kombnatoryki bo widzialem juz podobne rozwiazanie ale chcialbym wiedziec co inkwizytor mial na mysli

Czingisham pisze:\(\displaystyle{ n*(n-1)=28}\)??

Czingisham pisze:właśnie chcialem uniknac kombnatoryki bo widzialem juz podobne rozwiazanie ale chcialbym wiedziec co inkwizytor mial na mysli

Trzeba podzielić przez 2 czyli \(\displaystyle{ \frac{n*(n-1)}{2} =28}\)
Dlaczego? Przeanalizuj taki przykład:
- Narysuj 4 punkty (tak żeby tworzyły dowolny czworokąt wypukły)
- Ponumeruj wierzchołki
- Weź cztery kolory
- Dla wierzchołka nr 1 poprowadź jednym kolorem odcinki do pozostałych
- To samo ale z innym kolorem powtórz dla nr 2 a potem 3 i 4.

Czy juz teraz rozumiesz dlaczego trzeba podzielić przez 2?

THX!