Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Czingisham
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 31 sty 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Czingisham » 20 cze 2010, o 19:26

Na płaszczyznie zaznaczono n punktów ,z których dowolne trzy nie są współliniowe.Wyznacz n,wiedząc,że liczba wszystkich odcinków łączących te punkty wynosi 28.
Prosiłbym o objaśnienie ja doszliście do równania.
Z góry dzięki :):):)
Ostatnio zmieniony 20 cze 2010, o 19:56 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Inkwizytor » 20 cze 2010, o 19:32

Rozumiem że każdy z n punktów łaczy się z n-1 punktami. Zastanów się jak będzie wyglądał wzór na wszystkie krawędzie i przyrównaj do 28

Dla bardziej zaawansowanych pojęcie grafu pełnego będzie bardzo pomocne

Czingisham
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 31 sty 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Czingisham » 20 cze 2010, o 19:36

\(\displaystyle{ n*(n-1)=28}\)??

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Afish » 20 cze 2010, o 19:45

Musisz jeszcze podzielić przez dwa (bo każdy odcinek liczysz podwójnie). Konkretniej to chodzi o to, że każde dwa punkty wyznaczają jednoznacznie prostą, a tym samym odcinek na tej prostej łączący te punkty. Wykorzystujemy tutaj wiedzę, że żadne trzy punkty nie są współliniowe. Zatem liczba odcinków utworzonych przez te punkty, to liczba różnych par punktów. A tych jest:
\(\displaystyle{ {n \choose 2} = \frac{(n-1)n}{2}}\)

Czingisham
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 31 sty 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Czingisham » 20 cze 2010, o 19:48

niekminie,za głupi jestem na to

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Afish » 20 cze 2010, o 19:54

W sumie Inkwizytor już wyjaśnił, więc pewnie niepotrzebnie mieszam w głowie :) W moim wytłumaczeniu chodzi o to, że musimy policzyć, ile różnych prostych wyznaczają te punkty. Jak już pisałem, do wyznaczenia prostej potrzebne są co najmniej dwa punkty. W treści mamy podane, że żadne trzy punkty nie są współliniowe, zatem nie będzie sytuacji, że trzy punkty wyznaczają tę samą prostą. Zatem teraz pozostaje nam policzyć, na ile sposobów możemy wybrać dwa punkty z \(\displaystyle{ n}\), przy czym kolejność punktów nie ma znaczenia. Gdy już wyliczymy liczbę prostych, to tym samym obliczymy liczbę odcinków łączących te punkty. Wybór dwóch punktów z \(\displaystyle{ n}\), to kombinacja bez powtórzeń. A to się liczy przy użyciu symbolu Newtona.

Czingisham
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 31 sty 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Czingisham » 20 cze 2010, o 20:13

właśnie chcialem uniknac kombnatoryki bo widzialem juz podobne rozwiazanie ale chcialbym wiedziec co inkwizytor mial na mysli

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Inkwizytor » 21 cze 2010, o 09:38

Czingisham pisze:\(\displaystyle{ n*(n-1)=28}\)??
Czingisham pisze:właśnie chcialem uniknac kombnatoryki bo widzialem juz podobne rozwiazanie ale chcialbym wiedziec co inkwizytor mial na mysli
Trzeba podzielić przez 2 czyli \(\displaystyle{ \frac{n*(n-1)}{2} =28}\)
Dlaczego? Przeanalizuj taki przykład:
- Narysuj 4 punkty (tak żeby tworzyły dowolny czworokąt wypukły)
- Ponumeruj wierzchołki
- Weź cztery kolory
- Dla wierzchołka nr 1 poprowadź jednym kolorem odcinki do pozostałych
- To samo ale z innym kolorem powtórz dla nr 2 a potem 3 i 4.

Czy juz teraz rozumiesz dlaczego trzeba podzielić przez 2?

Czingisham
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 31 sty 2010, o 17:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: w-wa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Odcinki łączące n punktów na płaszczyźnie.

Post autor: Czingisham » 21 cze 2010, o 18:11

THX!

ODPOWIEDZ