Ciag geometryczny z sinusami i cosinusami

[matti90]

Dla jakiej watosci x liczby: \(\displaystyle{ 1, -\sqrt{2} sin \frac{x}{2}, cos^{2}\frac{x}{2}-sin^{2}\frac{x}{2}}\) tworza ciąg geometryczny? z gory dz:)

Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych
frej

[frej]

Skorzystaj z własności ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ a_{n-1} a_{n+1} =a_{n} ^2}\)
i trochę pobaw się wzorami trygonometrycznymi.

[matti90]

WŁaśnie doszedlem do pewnego momentu i nie wiem co dalej :\(\displaystyle{ sin^{2}\frac{x}{2}}\) + \(\displaystyle{ cos^{2}\frac{x}{2}}\)=0

[lukasz1804]

Skoro ciag ma być geometryczny, to \(\displaystyle{ (-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2})^2=1\cdot(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2})}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \cos^2\frac{x}{2}=3\sin^2\frac{x}{2}}\). Z jedynki trygonometrycznej dostajemy teraz \(\displaystyle{ 4\sin^2\frac{x}{2}=1}\), czyli \(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi}\) (w pierwszym przypadku), lub \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi}\), lub \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\) (w drugim przypadku).
W konsekwencji otrzymujemy

\(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{3}+4k\pi}\), \(\displaystyle{ x=\frac{7\pi}{3}+4k\pi}\), \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+4k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi}\)

dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).

[matti90]

Dzieki wielkie Wam... ja sie pomylilem i nie chcialo wyjsc

[frej]

Ewentualnie jak ktoś lubi tangensy, to
\(\displaystyle{ cos^2 \frac{x}{2} =3 sin^2 \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3} =\left| tg \frac{x}{2}\right|}\)

[matti90]

dz jeszcze raz;))