Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 2arctgx + arcsin \frac{2x}{1+x^2}= \pi}\), dla \(\displaystyle{ x qslant 1}\)

podstawmy sobie \(\displaystyle{ 2arctgx=u}\) i \(\displaystyle{ arcsin \frac{2x}{1+x^2}= v}\)

wtedy \(\displaystyle{ arctgx=u/2}\)
i \(\displaystyle{ x=tg\frac{u}{2}}\) (*)
mamy też \(\displaystyle{ arcsin \frac{2x}{1+x^2}= v}\) z czego wynika \(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x^2}= sinv}\)

\(\displaystyle{ sinv=\frac{2x}{1+x^2}= (*)=\frac{2tg\frac{u}{2}}{1+(tg\frac{u}{2})^2}=sin(2*\frac{u}{2})}\)

a więc \(\displaystyle{ sinu=sinv}\) czyli \(\displaystyle{ u=v}\) lub \(\displaystyle{ u=\pi-v}\)

Z drugiego otrzymujemy od razu teze.
przypadek gdy \(\displaystyle{ u=v}\) wykluczamy korzystając z założenia. otóż gdy \(\displaystyle{ x> 1}\) to \(\displaystyle{ u>\pi/2}\) a \(\displaystyle{ v\leqslant\pi/2}\)
no zostaje jeszcze \(\displaystyle{ x=1}\) ale wtedy \(\displaystyle{ v=u=\pi/2}\) co daje tezę