wykazać tożsamość z arcusami

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
profesorq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 12 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 1 raz

wykazać tożsamość z arcusami

Post autor: profesorq » 7 paź 2007, o 11:00

\(\displaystyle{ 2arctgx + arcsin \frac{2x}{1+x^2}= \pi}\), dla \(\displaystyle{ x qslant 1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

wykazać tożsamość z arcusami

Post autor: jarekp » 8 paź 2007, o 20:59

podstawmy sobie \(\displaystyle{ 2arctgx=u}\) i \(\displaystyle{ arcsin \frac{2x}{1+x^2}= v}\)

wtedy \(\displaystyle{ arctgx=u/2}\)
i \(\displaystyle{ x=tg\frac{u}{2}}\) (*)
mamy też \(\displaystyle{ arcsin \frac{2x}{1+x^2}= v}\) z czego wynika \(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x^2}= sinv}\)

\(\displaystyle{ sinv=\frac{2x}{1+x^2}= (*)=\frac{2tg\frac{u}{2}}{1+(tg\frac{u}{2})^2}=sin(2*\frac{u}{2})}\)

a więc \(\displaystyle{ sinu=sinv}\) czyli \(\displaystyle{ u=v}\) lub \(\displaystyle{ u=\pi-v}\)

Z drugiego otrzymujemy od razu teze.
przypadek gdy \(\displaystyle{ u=v}\) wykluczamy korzystając z założenia. otóż gdy \(\displaystyle{ x> 1}\) to \(\displaystyle{ u>\pi/2}\) a \(\displaystyle{ v\leqslant\pi/2}\)
no zostaje jeszcze \(\displaystyle{ x=1}\) ale wtedy \(\displaystyle{ v=u=\pi/2}\) co daje tezę


ODPOWIEDZ