Suma na iloczyn
: 17 paź 2017, o 19:13
Wotam. Proszę o pomoc jak przedtsawić poniższą sumę w postaci iloczynu?
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x}\)
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x}\)
Zauważmy na wstępie że \(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)
To wynika z wzoru na sinus sumy. Więc
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x= 1+\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt{2}}+\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right) \right)=}\)
\(\displaystyle{ =2 \sqrt{2}\sin\left( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos\left( \frac{x}{2} \right)}\)
A ostatnie równość wynika z tego że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }=\sin \left( \frac{\pi}{4} \right)}\) i wzoru na sumę sinusów.