Suma na iloczyn

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
zwyklymoment
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 lip 2017, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Suma na iloczyn

Post autor: zwyklymoment » 17 paź 2017, o 19:13

Wotam. Proszę o pomoc jak przedtsawić poniższą sumę w postaci iloczynu?

\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 19:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3147
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Suma na iloczyn

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 19:31

Zauważmy na wstępie że \(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)

To wynika z wzoru na sinus sumy. Więc

\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x= 1+\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt{2}}+\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right) \right)=}\)

\(\displaystyle{ =2 \sqrt{2}\sin\left( \frac{x}{2}+ \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos\left( \frac{x}{2} \right)}\)

A ostatnie równość wynika z tego że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }=\sin \left( \frac{\pi}{4} \right)}\) i wzoru na sumę sinusów.

zwyklymoment
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 lip 2017, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Suma na iloczyn

Post autor: zwyklymoment » 17 paź 2017, o 19:45

wszsytko juz jasne, dziekuje za pomoc

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19203
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Suma na iloczyn

Post autor: a4karo » 17 paź 2017, o 21:27

Zadanie jest słabo sformułowane. Ciekawe jak zostałoby ocenione takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x=1\cdot(1+\sin x+\cos x)}\)?

ODPOWIEDZ