Matematyka.pl

Mam sprawdzić czy relacja \(\displaystyle{ S}\)\(\displaystyle{ \subset RxR}\) jest równoważnościowa, gdy:
\(\displaystyle{ (x,y) S \iff |x-2|=|2-y|}\)

1.) Symetryczność:
\(\displaystyle{ (x,y)\in S |x-2|=|2-y| |y-2|=|2-x| (y,x)\in S}\)
2.) Zwrotność:
\(\displaystyle{ |x-2|=|2-x|}\) jest prawdziwe dla każdego x, czyli dla dowolnego x, \(\displaystyle{ (x,x) S}\)
3.) Przechodniość:
jeśli\(\displaystyle{ (x,y),(y,z) S}\), czyli \(\displaystyle{ |x-2|=|2-y|}\) i \(\displaystyle{ |y-2|=|2-z|}\), to \(\displaystyle{ |x-2|=|2-z|}\), bo \(\displaystyle{ |2-y|=|y-2|}\), czyli \(\displaystyle{ (x,z) S}\) dla dowolnych x,y,z

odp. Tak

Badam cechy:
ZWROTNOŚĆ
|x-2|=|2-x|
Zgoda
Symetria:
|2-y|=|y-2| z parzystości modułu
|2-x|=|x-2| Czyli |2-x|=|y-2| wtedy i tylko wtedy gdy|x-2|=|2-y|
zgoda
Przechodniość:
Mamy dane
|2-x|=|y-2| oraz
|2-y|=|z-2|
Czyli
|2-x|=|y-2|=|2-y|=|2-z|=|z-2|CZEGO DOWIODŁEM